Mathematik für Ingenieure 1

3 Polynome und rationale Funktionen (S. 65)

Wir widmen nun Polynomen und Quotienten von Polynomen ein eigenes Kapitel. In Kapitel 1 haben wir schon definiert, wie diese Funktionenklasse genau aussieht. Wir haben dort auch gesehen, wie man erkennt, ob diese Funktionen gerade oder ungerade (oder keines von beiden) sind. Polynome weisen aber noch eine Vielzahl von weiteren sympathischen Features auf. Bei ihrer Definition treten nur die vier Grundrechenarten (eigentlich nur drei) und Potenzen auf, sie sind also schon für Schüler leicht greifbar. Sie treten in einer Reihe von Anwendungen auf, beispielsweise bei der Umrechnung in andere Zahlensysteme (in diesem Kapitel) und dienen zur Annäherung von komplizierteren Funktionen (siehe z. B. Kapitel 8, weitere Anwendungen findet man in [6]). Ihre relativ einfache Strukturierung ermöglicht spezielle Rechentechniken, die effiziente Implementierung auf Rechnern erlaubt.

3.1 Polynome

Nach Def. 1.8 ist ein Polynom vom Grad n durch Angabe seiner n+1 Koeffizienten eindeutig bestimmt. Umgekehrt können zwei Polynome nur gleich sein, wenn sie in ihren Koeffizienten übereinstimmen. Das klingt vernünftig – und ist auch richtig. Es kann nämlich nicht passieren, dass zwei Polynome p und q gleich sind, also p(x) = q(x) für alle x - R gilt, wenn sie verschiedene Koeffizienten haben. Dieser Sachverhalt ist in vielen Situationen nützlich, und wird uns in verallgemeinerter Form auch noch einmal in Kapitel 8 wieder begegnen.