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Michael Knorrenschild
Numerische Mathematik. (Mathematik-Studienhilfen)
Vorwort
6
Inhaltsverzeichnis
7
1 Rechnerarithmetik und Gleitpunktzahlen
10
1.1 Grundbegriffe und Gleitpunktarithmetik
10
1.2 Auslöschung
17
1.3 Fehlerrechnung
18
1.3.1 Fehlerfortpflanzung in arithmetischen Operationen
18
1.3.2 Fehlerfortpflanzung bei Funktionsauswertungen
19
2 Numerische Lösung von Nullstellenproblemen
26
2.1 Problemstellung
26
2.2 Das Bisektionsverfahren
26
2.3 Die Fixpunktiteration
28
2.4 Das Newton-Verfahren
33
2.5 Konvergenzgeschwindigkeit
37
3 Numerische Lösung linearer Gleichungssysteme
40
3.1 Problemstellung
40
3.2 Der Gauß-Algorithmus
41
3.3 Fehlerfortpflanzung beim Gauß-Algorithmus und Pivotisierung
46
3.4 Dreieckszerlegungen von Matrizen
48
3.4.1 Die LR-Zerlegung
48
3.4.2 Die Cholesky-Zerlegung
50
3.5 Fehlerrechnung bei linearen Gleichungssystemen
53
3.6 Iterative Verfahren
58
4 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme
66
4.1 Problemstellung
66
4.2 Das Newton-Verfahren für Systeme
67
5 Interpolation
72
5.1 Problemstellung
72
5.2 Polynominterpolation
73
5.2.1 Das Neville-Aitken-Schema
78
5.2.2 Der Fehler bei der Polynominterpolation
79
5.3 Splineinterpolation
83
5.3.1 Problemstellung
83
5.3.2 Interpolation mit kubischen Splines
85
6 Ausgleichsrechnung
92
6.1 Problemstellung
92
6.2 Lineare Ausgleichsprobleme
93
6.3 Nichtlineare Ausgleichsprobleme
100
6.4 Das Gauß-Newton-Verfahren
102
7 Numerische Differenziation und Integration
106
7.1 Numerische Differenziation
106
7.1.1 Problemstellung
106
7.1.2 Differenzenformeln für höhere Ableitungen
111
7.1.3 Differenzenformeln für partielle Ableitungen
112
7.1.4 Extrapolation
113
7.2 Numerische Integration
120
7.2.1 Problemstellung
120
7.2.2 Interpolatorische Quadraturformeln
124
7.2.3 Der Quadraturfehler
124
7.2.4 Transformation auf das Intervall [a, b]
126
7.2.5 Der Fehler der summierten Quadraturformeln
128
7.2.6 Newton-Cotes-Formeln
130
7.2.7 Gauß-Formeln
130
7.2.8 Extrapolationsquadratur
133
7.2.9 Praktische Aspekte
137
8 Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differenzialgleichungen
139
8.1 Problemstellung
139
8.2 Das Euler-Verfahren
141
8.3 Praktische Aspekte
147
8.4 Weitere Einschrittverfahren
148
8.5 Weitere Verfahren
154
Lösungen
156
Literaturverzeichnis
174
Sachwortverzeichnis
176
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