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Volker Maiwald, Dominik Quantius, Benny Rievers
Grundlagen der Orbitmechanik
Inhaltsverzeichnis
6
1 Einführung
10
1.1 Entwicklung der Orbitmechanik und Kosmologie
11
1.2 Kapitelübersicht
16
2 Mathematische und physikalische Grundlagen
18
2.1 Vektorrechnung
18
2.1.1 Definition und Eigenschaften eines Vektors
19
2.1.2 Vektoraddition und -subtraktion
21
2.1.3 Skalarmultiplikation und Skalarprodukt eines Vektors
22
2.1.4 Kreuzprodukt oder Vektorprodukt
22
2.1.5 Spatprodukt
24
2.2 Transformationsmatrizen
24
2.3 Differentialrechnung
26
2.3.1 Rechenregeln
26
2.3.2 Notationen
28
2.3.3 Extremstellen
29
2.3.4 Differentialgleichungen
29
2.4 Integralrechnung
30
2.4.1 Partielle Integration
31
2.4.2 Substitutionsregel
31
2.5 Newtonsche Mechanik
31
3 Koordinatensysteme
34
3.1 Koordinatenarten
34
3.1.1 Kartesische Koordinaten
34
3.1.2 Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten
34
3.1.3 Koordinatentransformation
36
3.2 Drehung eines Koordinatensystems
36
3.2.1 Drehung mittels Rotationsmatrizen
37
3.2.2 Drehung mittels Quaternionen
41
3.3 Arten von Koordinatensystemen
43
3.3.1 Äquatorebene, Ekliptik und Frühlingspunkt
43
3.3.2 Erdzentrische Äquatoriale Koordinatensysteme
44
3.3.3 Erdzentrisches Ekliptikales Koordinatensystem
45
3.3.4 Topozentrisches System
45
3.3.5 Perifokale und VNC-Systeme
45
3.3.6 Heliozentrisches System
46
3.3.7 Himmelsäquator- und geografisches System
46
3.4 Das Sonnensystem als Beispiel
47
4 Zeitsysteme
50
4.1 Sonnentag und Sternentag
51
4.2 Tropisches Jahr, Gregorianischer Kalender und Schaltjahre
53
4.3 Definierte Zeitsystematiken
54
4.3.1 Universal Time (UT)
54
4.3.2 International Atomic Time (TAI)
54
4.3.3 Coordinated Universal Time (UTC)
54
4.3.4 Julianisches und Modifiziertes Julianisches Datum
54
4.3.5 Sonnenwende
55
5 Gravitationspotential und Gravitationskraft
58
5.1 Das Gravitationsgesetz von Newton
58
5.2 Gravitationspotential
59
5.3 Gravitationspotential einer Kugel
61
6 Gleichungen des Zweikörperproblems
66
6.1 Die Kepler-Gesetze
66
6.2 Die Bewegungsgleichung des Zweikörperproblems
67
6.3 Energieerhaltung im Zweikörperproblem
69
6.4 Impulserhaltung im Zweikörperproblem
71
6.5 Bahngeometrie im Zweikörperproblem
72
6.6 Gesamtenergie, Geschwindigkeiten und Umlaufperiode
80
6.6.1 Vis-Viva-Gleichung und Bahngeschwindigkeit
81
6.6.2 Kosmische Geschwindigkeiten
82
6.6.3 Umlaufperiode
84
6.7 Die klassischen Orbitelemente
87
6.7.1 Definition der klassischen Orbitelemente
87
6.7.2 Umrechnung zwischen Vektoren und Orbitelementen
89
6.8 Die Keplergleichung
92
6.8.1 Grafische Herleitung über die Bahnform
92
6.8.2 Analytische Herleitung
96
6.8.3 Zusammenhang zwischen Position und Zeit für Hyperbel und Parabel
99
6.8.4 Anwendung der Keplergleichung
100
6.9 Das Zweikörperproblem und die Realität
104
7 Bahnänderung und Missionsplanung im Zweikörperproblem
108
7.1 Energiezustand und Änderung der Bahnenergie
108
7.2 Flucht von einer Kreisbahn
110
7.3 Hohmanntransfer
111
7.4 Bielliptischer Transfer (Sternfeldtransfer)
114
7.5 Anwendung der energieoptimalen Transferarten
117
7.5.1 ?v-Bedarf und günstigster Transfer
118
7.5.2 Rendezvous mittels Hohmanntransfer
119
7.6 Allgemeine Bahntransfers: Lamberts-Problem
122
7.6.1 Herleitung der Gleichungen des Lamberts-Problems
122
7.6.2 Anwendung des Lamberts-Problems
125
7.6.3 Lamberts-Problem und das Zweikörperproblem
127
7.7 Zusammengesetzte Kegelschnitte
127
7.7.1 Planetare Einflusssphären
128
7.7.2 Umwandlung der Größen zwischen den Systemen
130
7.7.3 Zusammensetzen der Kegelschnitte
131
7.7.4 Grenzen für zusammengesetzte Kegelschnitte
134
7.8 Bahnänderungen außerhalb der Ebene
134
7.8.1 Inklinationsänderung
134
7.8.2 Änderung der Knoten
136
7.9 Spezifischer Impuls und Raketengrundgleichung
136
7.9.1 Der massenspezifische Impuls
136
7.9.2 Die Ziolkowskigleichung
137
7.9.3 Näherung über eine Taylor-Entwicklung
140
7.9.4 Anwendung der Ziolkowskigleichung
140
8 Bahnarten und Bodenspuren
144
8.1 Weltraumumgebung der Erde
144
8.2 Typische Orbits und Bahntypen
145
8.2.1 Niedriger Erdorbit
145
8.2.2 Mittlerer Erdorbit
146
8.2.3 Geosynchroner und Geostationärer Orbit
146
8.2.4 Hoher Erdorbit und Hochelliptischer Orbit
148
8.2.5 Park- und Friedhofsorbits
149
8.2.6 Frozen Orbit
150
8.2.7 Konstellationen
150
8.3 Bodenspuren und ihre Bedeutung
151
9 Gleichungen des Mehrkörperproblems
154
9.1 Die Bewegungsgleichung des Mehrkörperproblems
155
9.2 Impulserhaltung im Mehrkörperproblem
156
9.3 Energieerhaltung im Mehrkörperproblem
156
9.4 Gleichung der relativen Bewegung
158
9.5 Eingeschränktes Dreikörperproblem und Jacobi-Integral
160
9.6 Nullgeschwindigkeitsflächen
164
9.7 Tisserandkriterium
165
9.8 Schwungholmanöver
167
9.9 Librationspunkte
171
10 Reale Bahnen
174
10.1 Methoden auf Basis des Zweikörperproblems
174
10.1.1 Cowell-Methode
175
10.1.2 Enckesche Methode
176
10.2 Änderung der Bahnelemente
179
10.2.1 Änderung der Halbachse
180
10.2.2 Änderung der Exzentrizität
182
10.2.3 Änderung der Inklination und Rektaszension
184
10.2.4 Änderung der wahren Anomalie
186
10.2.5 Änderung des Arguments des Perizentrums
187
10.2.6 Änderung des Zeitpunkts des Perizentrumsdurchgangs
188
10.2.7 Anwendung bei Bahnberechnungen
189
10.3 Änderung der Bahnelemente durch Abweichungen vom Kugelpotential
190
10.4 Numerische Integrationsverfahren
192
10.5 Bahnbestimmung und -korrektur
194
11 Niedrigschub: die Besonderen Bahnen
196
11.1 Definition und Bedeutung
196
11.2 Antriebsarten und Anwendungsfälle
198
11.2.1 Elektrothermische Triebwerke
199
11.2.2 Elektromagnetische Triebwerke
199
11.2.3 Elektrostatische Triebwerke
199
11.2.4 Segelantrieb
200
11.2.5 Historie wichtiger Missionen
201
11.3 Bahnberechnung
201
11.3.1 Berechnung des ?v über die Edelbaum-Gleichung
202
11.3.2 Berechnung der Schubdauer
204
11.4 Optimierungsmethoden
204
11.4.1 Diskretisierung
205
11.4.2 Bahnmodellierung
206
11.4.3 Suche nach der optimalen Lösung
207
I Anhang
210
I.1 Daten der Himmelskörper
210
I.2 Übungsaufgaben
212
Aufgabe 1: Bezugssysteme
212
Lösung Aufgabe 1
213
Aufgabe 2: Zweikörperproblem
216
Lösung Aufgabe 2
217
Aufgabe 3: Bahnen mit Antrieb und Keplergleichung
220
Lösung Aufgabe 3
221
II Abbildungsverzeichnis
224
III Tabellenverzeichnis
225
IV Abkürzungsverzeichnis
226
V Schlagwortverzeichnis
228
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