FEM zur Berechnung von Kunststoff- und Elastomerbauteilen

2.1	Grundbegriffe der Mechanik

Spannung

Die Mechanik definiert als ein Maß für die Werkstoffbeanspruchung die „Spannung“, die aus dem Quotienten aus Kraft F und Fläche A gebildet wird, auf welche die Kraft wirkt:

Die Spannung ist damit eine flächenbezogene Last, welche den Werkstoff beansprucht. Die Spannung besitzt, genau wie die Kraft, auch einen Betrag und eine Richtungsinformation und ist in einem Koordinatensystem definiert. Um den Spannungszustand an einer bestimmten Stelle eines belasteten Körpers zu beschreiben, betrachtet man ein infinitesimal kleines Element des Werkstoffes und formuliert die an den Elementflächen wirkenden Spannungen (Bild 2.1). Die senkrecht auf den Flächen stehenden Spannungen werden dabei als Normalspannungen (Symbol σ), die zu den Flächen parallel-gerichteten als Schubspannungen (Symbol τ) bezeichnet. Für ein würfelförmiges Element sind damit bei sechs Flächen und jeweils drei Spannungskomponenten insgesamt 18 Zahlenwerte erforderlich, um den Spannungszustand zu definieren.

Aus dem Kräftegleichgewicht für das Element folgt, dass die jeweils gegenüberliegenden Spannungskomponenten entgegengesetzt ausgerichtet und von gleichem Betrag sein müssen. Damit reduzieren sich die erforderlichen Angaben auf neun Werte. Zusammengefasst in einer Matrix beschreiben diese neun Spannungskomponenten an jedem Punkt eines Körpers den jeweils herrschenden Spannungszustand [GHSW55].

Diese Matrix wird als Spannungstensor bezeichnet. Der erste Index jeder der Komponenten gibt dabei die Richtung der zugehörigen Flächennormalen an, der zweite Index die Richtung der Spannungskomponente. Aus dem Momentengleichgewicht für das betrachtete Element folgt, dass die auf eine gemeinsame Kante des Elementes weisenden Schubspannungen jeweils betragsgleich sein müssen. Der Spannungszustand kann dadurch mittels sechs Komponenten vollständig beschrieben werden [BET97]:

Die Eigenschaften des Spannungstensors werden im Folgenden an einem Beispiel weiter diskutiert: Das Bild 2.2 zeigt einen Zugstab mit der Querschnittsfläche A, der durch eine äußere Kraft F in Längsrichtung belastet wird. Für die weiteren Überlegungen wird angenommen, dass die Kraft gleichmäßig vom Stabquerschnitt aufgenommen wird. In Bild 2.2 a) ist ein aus dem Zugstab freigeschnittenes Element dargestellt. Um die Komponenten des Spannungstensors direkt ablesen zu können, ist das Element am Koordinatensystem ausgerichtet. An diesem Element wirkt ausschließlich eine Normalspannung in die 1-Richtung des Koordinatensystems. Der Spannungstensor ergibt sich somit zu:

Der Zugstab wird nun (einschließlich der Last) um 45° um die z-Achse gedreht. Für den Zugstab ändert sich der Spannungszustand dadurch natürlich nicht. Wiederum wird ein Element in dem jetzt gedrehten Zugstab betrachtet, das am Koordinatensystem ausgerichtet ist (Bild 2.2 b)). Die an den Elementflächen übertragenen Kräfte müssen auch hier in Richtung der äußeren Kraft weisen. Die Zerlegung im gewählten Koordinatensystem ergibt somit an den Elementflächen sowohl Normal- als auch Schubspannungen. Der Spannungstensor ergibt sich damit zu:

Eine weitere Drehung des Zugstabes um die x- und/oder y-Koordinatenachsen würde zu einem Spannungstensor führen, in dem alle Komponenten ungleich null sind. Die Komponenten des Spannungstensors sind daher abhängig von der Wahl des Koordinatensystems. Ein und derselbe Spannungszustand führt in verschiedenen Koordinatensystemen somit zu unterschiedlichen Darstellungen des Spannungstensors. Wesentlich ist dabei, dass sich nur die Darstellung ändert, nicht aber der durch den Spannungstensor beschriebene Spannungszustand und die damit verknüpfte Werkstoffbeanspruchung.

Anmerkung zum Tensorbegriff

Da der Begriff des Tensors sowohl im weiteren Verlauf dieses Buches als auch bei der Auswertung von FEM-Ergebnissen von großer Bedeutung ist, soll er hier noch einmal an einem Beispiel erläutert werden. Bild 2.3 zeigt auf der linken Seite einen Quader mit den Kantenlängen 10/20/50. Er ist in einem Koordinatensystem so positioniert, dass eine Ecke im Ursprung liegt und die Kanten parallel zu den Achsen liegen. Auf diese Weise lässt sich der Quader eindeutig beschreiben, indem die Koordinaten der drei Eckpunkte auf den Achsen angegeben werden, bzw. in vektorieller Darstellung, die drei Kantenvektoren.

In einer Matrix zusammengefasst sieht der linke Quader dann so aus:

Eine häufig verwendete Größe zur Beschreibung einer Matrix ist die Determinante. Für eine 3×3-Matrix gilt:

In diesem speziellen Fall entspricht der Wert der Determinante dem Volumen des Quaders.

Auf der rechten Seite des Bildes wurde der Quader im Koordinatensystem an der Ecke rotiert, die im Koordinatenursprung...