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Günter M. Gramlich
Lineare Algebra
Eine Einführung
Vorwort
7
Inhaltsverzeichnis
9
1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
11
1.1 Lineare Gleichungssysteme
11
1.2 Matrizen
14
1.3 Elementare Umformungen und Zeilenstufenformen
15
1.4 Das Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren
18
1.5 Mehr über Matrizen
25
1.6 Rechnen mit Matrizen
27
1.7 Die Matrixform eines linearen Gleichungssystems
41
1.8 Lösen quadratischer Systeme durch Matrixinvertierung
42
1.9 Potenzen von Matrizen
45
1.10 Weitere Bemerkungen und Hinweise
46
2 Vektoren in der Ebene und im Raum
50
2.1 Geometrische Vektoren
50
2.2 Arithmetische Vektoren
54
2.3 Die Länge von Vektoren
61
2.4 Das Skalarprodukt
63
2.5 Orthogonale Projektionsvektoren
70
2.6 Die Komponentenform eines Vektors
73
2.7 Das Kreuzprodukt
74
2.8 Weitere Bemerkungen und Hinweise
79
3 Geometrische Modelle in der Ebene und im Raum
82
3.1 Darstellungen von Geraden
82
3.2 Darstellungen von Ebenen
87
3.3 Parameterdarstellungen als Funktionen, Bewegungen
92
3.4 Weitere Bemerkungen und Hinweise
93
4 Reelle Vektorräume und Unterräume
95
4.1 Die Vektorraum-Definition
4.1 Die Vektorraum-Definition
4.2 Der Vektorraum Rn
97
4.3 Weitere Beispiele von reellen Vektorräumen
99
4.4 Untervektorräume
100
4.5 Der Nullraum und homogene lineare Gleichungssysteme
103
4.6 Linearkombinationen, lineare Hülle
104
4.7 Die vier Fundamentalräume einer Matrix
108
4.8 Der Spaltenraum und lineare Gleichungssysteme
109
4.9 Lineare Unabhängigkeit und Abhängigkeit
110
4.10 Basis und Dimension
112
4.11 Die Struktur der Lösungsmenge von Ax=b
116
4.12 Lineare Gleichungssysteme, Zeilen- und Spaltenbild
119
4.13 Basen für die vier Fundamentalräume
120
4.14 Die Dimensionen der vier Fundamentalräume
125
4.15 Summe und direkte Summe von zwei Unterräumen
128
4.16 Weitere Bemerkungen und Hinweise
130
5 Lineare Abbildungen von Rn nach Rm
134
5.1 Definition und Beispiele
134
5.2 Darstellung von linearen Abbildungen durch Matrizen
137
5.3 Weitere Beispiele
139
5.4 Weitere Bemerkungen und Hinweise
142
6 Der Euklidische Vektorraum Rn
144
6.1 Orthogonal- und Orthonormalbasen
147
6.2 Summe und Orthogonalität der vier Fundamentalräume
152
6.3 Weitere Bemerkungen und Hinweise
158
7 Determinanten
160
7.1 Die Determinante einer (2;2)-Matrix
160
7.2 Verallgemeinerung auf (n;n)-Matrizen
162
7.3 Determinanten und lineare Gleichungssysteme
166
7.4 Weitere Bemerkungen und Hinweise
170
8 Eigenwerte und Eigenvektoren
171
8.1 Eigenräume und Basen von Eigenvektoren
177
8.2 Diagonalisierung einer Matrix
179
8.3 Orthogonale Matrizen
184
8.4 Diagonalisierung mit orthogonalen Matrizen
187
8.5 Weitere Bemerkungen und Hinweise
190
MusterlösungenderAufgaben
193
Literaturverzeichnis
205
Sachwortverzeichnis
206
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