Siegfried Völkel, Horst Bach, Heinz Nickel, Jürgen Schäfer
Mathematik für Techniker
1 Rechenoperationen
17
1.1 Grundbegriffe der Mengenlehre und Logik
17
1.1.0 Vorbemerkung
17
1.1.1 Begriff der Menge
17
1.1.2 Relationen zwischen Mengen
20
1.1.3 Operationen mit Mengen
23
1.2 Zahlenbereiche
27
1.2.0 Vorbemerkung
27
1.2.1 Bereich der reellen Zahlen und seine Teilbereiche
27
1.2.2 Zahlensysteme
29
1.2.3 Intervalle, Absoluter Betrag, Runden von Zahlen
31
1.3 Rechenoperationen erster und zweiter Stufe
36
1.3.0 Vorbemerkung
36
1.3.1 Grundbegriffe
36
1.3.2 Rechenoperationen mit Zahlen
38
1.3.3 Algebraische Summen
39
1.3.4 Bruchrechnung
43
1.3.5 Proportionen
48
1.3.6 Summenzeichen
53
1.4 Rechenoperationen dritter Stufe
55
1.4.0 Vorbemerkung
55
1.4.1 Rechnen mit Potenzen und Wurzeln
55
1.4.2 Rechnen mit Logarithmen
65
1.4.3 Potenz eines Binoms
72
1.5 Aufgaben
75
1.6 Lösungen
84
2 Gleichungen und Ungleichungen
90
2.1 Gleichungen mit einer Variablen
90
2.1.0 Vorbemerkung
90
2.1.1 Grundbegriffe
90
2.1.2 Lösen von algebraischen Gleichungen
94
2.1.3 Lösen von transzendenten Gleichungen
103
2.1.4 Lösen von Gleichungen durch Näherungsverfahren
108
2.2 Ungleichungen
114
2.2.0 Vorbemerkung
114
2.2.1 Grundbegriffe
114
2.2.2 Einfache Typen linearer Ungleichungen
115
2.3 Lineare Gleichungssysteme
117
2.3.0 Vorbemerkung
117
2.3.1 Herkömmliche Lösungsverfahren
118
2.3.2 Lösbarkeitsbetrachtungen
121
2.3.3 Gaußscher Algorithmus
124
2.3.4 Determinantenverfahren
129
2.4 Aufgaben
135
2.5 Lösungen
142
3 Geometrie
147
3.1 Planimetrie
147
3.1.0 Vorbemerkung
147
3.1.1 Grundbegriffe
147
3.1.2 Winkel an sich schneidenden Geraden
150
3.1.3 Bewegungen in der Ebene, Kongruenz, Symmetrie
151
3.1.4 Grundkonstruktionen
155
3.1.5 Ähnlichkeit
158
3.1.6 Allgemeines Dreieck
160
3.1.7 Rechtwinkliges, gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck
167
3.1.8 Viereck
170
3.1.9 Regelmäßiges n-Eck
172
3.1.10 Kreis
174
3.1.11 Flächeninhalte
178
3.2 Stereometrie
184
3.2.0 Vorbemerkung
184
3.2.1 Quader
185
3.2.2 Prisma und Pyramide
187
3.2.3 Prismatoid
192
3.2.4 Zylinder und Kegel
194
3.2.5 Cavalierisches Prinzip
199
3.2.6 Kugel und Kugelteile
199
3.3 Aufgaben
204
3.4 Lösungen
212
4 Trigonometrie
219
4.1 Goniometrie
219
4.1.0 Vorbemerkung
219
4.1.1 Winkelmessung
219
4.1.2 Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck
220
4.1.3 Winkelfunktionen für beliebige Winkel
226
4.1.4 Quadrantenrelationen
229
4.1.5 Zusammenhang zwischen den Funktionswerten eines Winkels
235
4.1.6 Additionstheoreme
237
4.2 Dreiecksberechnung
241
4.2.1 Allgemeines
241
4.2.2 Sinus- und Kosinussatz
242
4.2.3 Grundaufgaben der Dreiecksberechnung
248
4.2.4 Weitere Anwendungen
250
4.3 Aufgaben
256
4.4 Lösungen
262
5 Funktionen
267
5.0 Vorbemerkung
267
5.1 Der Funktionsbegriff
267
5.1.1 Die Definition einer Funktion
267
5.1.2 Darstellungsformen von Funktionen
268
5.1.3 Eigenschaften von Funktionen
273
5.1.4 Die Umkehrfunktion
275
5.2 Lineare Funktionen (Geraden)
278
5.2.1 Die analytischen Darstellungsarten linearer Funktionen
278
5.2.2 Die lineare Funktion und ihre Umkehrfunktion
281
5.2.3 Lagebeziehungen zwischen Geraden
283
5.3 Quadratische Funktionen (Parabeln)
287
5.3.1 Die Darstellungsarten quadratischer Funktionen
287
5.3.2 Die Umwandlung zwischen den Darstellungsarten quadratischer Funktionen
292
5.3.3 Die Umkehrfunktion der quadratischen Funktion
295
5.4 Potenz- und Wurzelfunktionen
297
5.4.1 Potenzfunktionen und ihre Eigenschaften
297
5.4.2 Wurzelfunktionen und ihre Eigenschaften
299
5.5 Ganzrationale Funktionen
300
5.6 Gebrochenrationale Funktionen
304
5.7 Exponential- und Logarithmusfunktionen
307
5.7.1 Exponentialfunktionen und ihre Eigenschaften
307
5.7.2 Logarithmusfunktionen und ihre Eigenschaften
310
5.8 Trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrfunktionen
311
5.9 Der Einfluss von Funktionsparametern auf Funktionsgraphen
317
5.10 Bestimmung von Funktionsgleichungen
326
5.11 Aufgaben
330
5.12 Lösungen
337
6 Zahlenfolgen
345
6.0 Vorbemerkung
345
6.1 Grundbegriffe
345
6.2 Arithmetische Folgen
348
6.3 Geometrische Folgen
352
6.4 Anwendungsbeispiele der geometrischen Folge
354
6.5 Grenzwert einer Zahlenfolge
359
6.6 Grenzwert einer Funktion
362
6.6.1 Grenzwert einer Funktion an der Stelle x=a
362
6.6.2 Grenzwert einer Funktion für x . ±8
366
6.7 Aufgaben
367
6.8 Lösungen
370
7 Differenzialrechnung
372
7.0 Vorbemerkung
372
7.1 Grundbegriffe
372
7.2 Ableitung der Potenzfunktion
377
7.3 Ableitung einer konstanten Funktion und einer Funktion mit konstantem Faktor
379
7.4 Ableitung einer Summe von Funktionen
379
7.5 Differenzial einer Funktion
380
7.6 Weitere Grundregeln der Differenzialrechnung
384
7.6.1 Ableitung eines Produktes von Funktionen
384
7.6.2 Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen
385
7.7 Regeln für die Ableitung weiterer Funktionen
387
7.8 Höhere Ableitungen
389
7.9 Geometrische Interpretation der ersten und zweiten Ableitung
390
7.10 Kurvendiskussion
395
7.11 Extremwertaufgaben
401
7.12 Aufstellen von Funktionsgleichungen mittels der Ableitungen
404
7.13 Aufgaben
407
7.14 Lösungen
410
8 Integralrechnung
416
8.0 Vorbemerkung
416
8.1 Unbestimmtes Integral
416
8.2 Bestimmtes Integral
419
8.3 Eigenschaften bestimmter Integrale
424
8.4 Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Summenfolge
425
8.5 Flächeninhalte ebener Flächen zwischen einer Kurve und der x-Achse
429
8.6 Flächen zwischen zwei Kurven
431
8.7 Integration durch Substitution
434
8.8 Der Rauminhalt von Rotationskörpern
436
8.9 Numerische Integration
439
8.10 Aufgaben
443
8.11 Lösungen
444
9 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
446
9.0 Vorbemerkung
446
9.1 Zufällige Erscheinungen und Ereignisse
446
9.2 Wahrscheinlichkeitsbegriff
449
9.3 Anzahl von Ergebnissen und Wahrscheinlichkeiten mehrstufiger Zufallsversuche
456
9.4 Simulation von Zufallsversuchen
469
9.5 Aufgaben
474
9.6 Lösungen
476
10 Einführung in die Statistik
478
10.0 Vorbemerkung
478
10.1 Statistische Erhebung, Auswertung und Darstellung von Daten
478
10.2 Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung
498
10.3 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
502
10.4 Binomialverteilte Zufallsgrößen
505
10.5 Anwendungen zur Binomialverteilung
507
10.6 Aufstellen und Testen von Hypothesen
513
10.7 Anwendungsaufgaben
517
10.8 Die Poisson-Verteilung
519
10.9 Die Normalverteilung
522
10.10 Anwendungen der Normalverteilung
527
10.11 Exponentialverteilung
529
10.12 Aufgaben
530
10.13 Lösungen
535
11 Komplexe Zahlen
540
11.0 Vorbemerkung
540
11.1 Die arithmetische Form der komplexen Zahlen
540
11.1.1 Imaginäre und komplexe Zahlen
540
11.1.2 Rechnen mit komplexen Zahlen in der arithmetischen Form
544
11.1.3 Die Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlen-ebene
547
11.2 Die trigonometrische Form der komplexen Zahlen
549
11.3 Die Exponentialform der komplexen Zahlen
553
11.3.1 Die Multiplikation und die Division komplexer Zahlen in der Exponentialform
553
11.3.2 Das Potenzieren, das Radizieren und das Logarithmieren komplexer Zahlen
555
11.4 Aufgaben
558
11.5 Lösungen
559
12 Vektorrechnung
563
12.0 Vorbemerkung
563
12.1 Punkte und Vektoren im kartesischen Koordinatensystem
563
12.1.1 Punkte im kartesischen Koordinatensystem
563
12.1.2 Vektoren im kartesischen Koordinatensystem
564
12.2 Rechnen mit Vektoren
568
12.2.1 Addition und Subtraktion von Vektoren
568
12.2.2 Die Multiplikation von Vektoren mit reellen Zahlen
571
12.2.3 Das Skalarprodukt
573
12.2.4 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
579
12.3 Die vektorielle Beschreibung von Geraden
582
12.3.1 Die Vektorgleichung einer Geraden
582
12.3.2 Die Lagebeziehungen zwischen Geraden
584
12.4 Die vektorielle Beschreibung von Ebenen
587
12.4.1 Die Vektorgleichung einer Ebene
587
12.4.2 Die Lagebeziehungen zwischen einer Ebene und einer Geraden
591
12.4.3 Die Lagebeziehung zwischen Ebenen
593
12.4.4 Der Normalenvektor einer Ebene
597
12.5 Aufgaben
601
12.6 Lösungen
608
Sachwortverzeichnis
612
© 2009-2024 ciando GmbH