Mathematik für Techniker

1 Rechenoperationen

1.1 Grundbegriffe der Mengenlehre und Logik

1.1.0 Vorbemerkung

1.1.1 Begriff der Menge

1.1.2 Relationen zwischen Mengen

1.1.3 Operationen mit Mengen

1.2 Zahlenbereiche

1.2.0 Vorbemerkung

1.2.1 Bereich der reellen Zahlen und seine Teilbereiche

1.2.2 Zahlensysteme

1.2.3 Intervalle, Absoluter Betrag, Runden von Zahlen

1.3 Rechenoperationen erster und zweiter Stufe

1.3.0 Vorbemerkung

1.3.1 Grundbegriffe

1.3.2 Rechenoperationen mit Zahlen

1.3.3 Algebraische Summen

1.3.4 Bruchrechnung

1.3.5 Proportionen

1.3.6 Summenzeichen

1.4 Rechenoperationen dritter Stufe

1.4.0 Vorbemerkung

1.4.1 Rechnen mit Potenzen und Wurzeln

1.4.2 Rechnen mit Logarithmen

1.4.3 Potenz eines Binoms

1.5 Aufgaben

1.6 Lösungen

2 Gleichungen und Ungleichungen

2.1 Gleichungen mit einer Variablen

2.1.0 Vorbemerkung

2.1.1 Grundbegriffe

2.1.2 Lösen von algebraischen Gleichungen

2.1.3 Lösen von transzendenten Gleichungen

2.1.4 Lösen von Gleichungen durch Näherungsverfahren

2.2 Ungleichungen

2.2.0 Vorbemerkung

2.2.1 Grundbegriffe

2.2.2 Einfache Typen linearer Ungleichungen

2.3 Lineare Gleichungssysteme

2.3.0 Vorbemerkung

2.3.1 Herkömmliche Lösungsverfahren

2.3.2 Lösbarkeitsbetrachtungen

2.3.3 Gaußscher Algorithmus

2.3.4 Determinantenverfahren

2.4 Aufgaben

2.5 Lösungen

3 Geometrie

3.1 Planimetrie

3.1.0 Vorbemerkung

3.1.1 Grundbegriffe

3.1.2 Winkel an sich schneidenden Geraden

3.1.3 Bewegungen in der Ebene, Kongruenz, Symmetrie

3.1.4 Grundkonstruktionen

3.1.5 Ähnlichkeit

3.1.6 Allgemeines Dreieck

3.1.7 Rechtwinkliges, gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck

3.1.8 Viereck

3.1.9 Regelmäßiges n-Eck

3.1.10 Kreis

3.1.11 Flächeninhalte

3.2 Stereometrie

3.2.0 Vorbemerkung

3.2.1 Quader

3.2.2 Prisma und Pyramide

3.2.3 Prismatoid

3.2.4 Zylinder und Kegel

3.2.5 Cavalierisches Prinzip

3.2.6 Kugel und Kugelteile

3.3 Aufgaben

3.4 Lösungen

4 Trigonometrie

4.1 Goniometrie

4.1.0 Vorbemerkung

4.1.1 Winkelmessung

4.1.2 Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck

4.1.3 Winkelfunktionen für beliebige Winkel

4.1.4 Quadrantenrelationen

4.1.5 Zusammenhang zwischen den Funktionswerten eines Winkels

4.1.6 Additionstheoreme

4.2 Dreiecksberechnung

4.2.1 Allgemeines

4.2.2 Sinus- und Kosinussatz

4.2.3 Grundaufgaben der Dreiecksberechnung

4.2.4 Weitere Anwendungen

4.3 Aufgaben

4.4 Lösungen

5 Funktionen

5.0 Vorbemerkung

5.1 Der Funktionsbegriff

5.1.1 Die Definition einer Funktion

5.1.2 Darstellungsformen von Funktionen

5.1.3 Eigenschaften von Funktionen

5.1.4 Die Umkehrfunktion

5.2 Lineare Funktionen (Geraden)

5.2.1 Die analytischen Darstellungsarten linearer Funktionen

5.2.2 Die lineare Funktion und ihre Umkehrfunktion

5.2.3 Lagebeziehungen zwischen Geraden

5.3 Quadratische Funktionen (Parabeln)

5.3.1 Die Darstellungsarten quadratischer Funktionen

5.3.2 Die Umwandlung zwischen den Darstellungsarten quadratischer Funktionen

5.3.3 Die Umkehrfunktion der quadratischen Funktion

5.4 Potenz- und Wurzelfunktionen

5.4.1 Potenzfunktionen und ihre Eigenschaften

5.4.2 Wurzelfunktionen und ihre Eigenschaften

5.5 Ganzrationale Funktionen

5.6 Gebrochenrationale Funktionen

5.7 Exponential- und Logarithmusfunktionen

5.7.1 Exponentialfunktionen und ihre Eigenschaften

5.7.2 Logarithmusfunktionen und ihre Eigenschaften

5.8 Trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrfunktionen

5.9 Der Einfluss von Funktionsparametern auf Funktionsgraphen

5.10 Bestimmung von Funktionsgleichungen

5.11 Aufgaben

5.12 Lösungen

6 Zahlenfolgen

6.0 Vorbemerkung

6.1 Grundbegriffe

6.2 Arithmetische Folgen

6.3 Geometrische Folgen

6.4 Anwendungsbeispiele der geometrischen Folge

6.5 Grenzwert einer Zahlenfolge

6.6 Grenzwert einer Funktion

6.6.1 Grenzwert einer Funktion an der Stelle x=a

6.6.2 Grenzwert einer Funktion für x . ±8

6.7 Aufgaben

6.8 Lösungen

7 Differenzialrechnung

7.0 Vorbemerkung

7.1 Grundbegriffe

7.2 Ableitung der Potenzfunktion

7.3 Ableitung einer konstanten Funktion und einer Funktion mit konstantem Faktor

7.4 Ableitung einer Summe von Funktionen

7.5 Differenzial einer Funktion

7.6 Weitere Grundregeln der Differenzialrechnung

7.6.1 Ableitung eines Produktes von Funktionen

7.6.2 Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen

7.7 Regeln für die Ableitung weiterer Funktionen

7.8 Höhere Ableitungen

7.9 Geometrische Interpretation der ersten und zweiten Ableitung

7.10 Kurvendiskussion

7.11 Extremwertaufgaben

7.12 Aufstellen von Funktionsgleichungen mittels der Ableitungen

7.13 Aufgaben

7.14 Lösungen

8 Integralrechnung

8.0 Vorbemerkung

8.1 Unbestimmtes Integral

8.2 Bestimmtes Integral

8.3 Eigenschaften bestimmter Integrale

8.4 Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Summenfolge

8.5 Flächeninhalte ebener Flächen zwischen einer Kurve und der x-Achse

8.6 Flächen zwischen zwei Kurven

8.7 Integration durch Substitution

8.8 Der Rauminhalt von Rotationskörpern

8.9 Numerische Integration

8.10 Aufgaben

8.11 Lösungen

9 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

9.0 Vorbemerkung

9.1 Zufällige Erscheinungen und Ereignisse

9.2 Wahrscheinlichkeitsbegriff

9.3 Anzahl von Ergebnissen und Wahrscheinlichkeiten mehrstufiger Zufallsversuche

9.4 Simulation von Zufallsversuchen

9.5 Aufgaben

9.6 Lösungen

10 Einführung in die Statistik

10.0 Vorbemerkung

10.1 Statistische Erhebung, Auswertung und Darstellung von Daten

10.2 Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung

10.3 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

10.4 Binomialverteilte Zufallsgrößen

10.5 Anwendungen zur Binomialverteilung

10.6 Aufstellen und Testen von Hypothesen

10.7 Anwendungsaufgaben

10.8 Die Poisson-Verteilung

10.9 Die Normalverteilung

10.10 Anwendungen der Normalverteilung

10.11 Exponentialverteilung

10.12 Aufgaben

10.13 Lösungen

11 Komplexe Zahlen

11.0 Vorbemerkung

11.1 Die arithmetische Form der komplexen Zahlen

11.1.1 Imaginäre und komplexe Zahlen

11.1.2 Rechnen mit komplexen Zahlen in der arithmetischen Form

11.1.3 Die Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlen-ebene

11.2 Die trigonometrische Form der komplexen Zahlen

11.3 Die Exponentialform der komplexen Zahlen

11.3.1 Die Multiplikation und die Division komplexer Zahlen in der Exponentialform

11.3.2 Das Potenzieren, das Radizieren und das Logarithmieren komplexer Zahlen

11.4 Aufgaben

11.5 Lösungen

12 Vektorrechnung

12.0 Vorbemerkung

12.1 Punkte und Vektoren im kartesischen Koordinatensystem

12.1.1 Punkte im kartesischen Koordinatensystem

12.1.2 Vektoren im kartesischen Koordinatensystem

12.2 Rechnen mit Vektoren

12.2.1 Addition und Subtraktion von Vektoren

12.2.2 Die Multiplikation von Vektoren mit reellen Zahlen

12.2.3 Das Skalarprodukt

12.2.4 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

12.3 Die vektorielle Beschreibung von Geraden

12.3.1 Die Vektorgleichung einer Geraden

12.3.2 Die Lagebeziehungen zwischen Geraden

12.4 Die vektorielle Beschreibung von Ebenen

12.4.1 Die Vektorgleichung einer Ebene

12.4.2 Die Lagebeziehungen zwischen einer Ebene und einer Geraden

12.4.3 Die Lagebeziehung zwischen Ebenen

12.4.4 Der Normalenvektor einer Ebene

12.5 Aufgaben

12.6 Lösungen

Sachwortverzeichnis