Hans-Jochen Bartsch, Michael Sachs
Taschenbuch mathematischer Formeln für Ingenieure und Naturwissenschaftler
Inhaltsverzeichnis
9
1 Logik, Mengen, Zahlensysteme
23
1.1 Aussagenlogik
23
1.1.1 Allgemeines
23
1.1.2 Ein- und zweistellige Boolesche Funktionen
25
1.1.3 Boolesche Algebra
27
1.1.4 Normalformen
29
1.2 Prädikatenlogik
31
1.3 Mengen
32
1.3.1 Allgemeines
32
1.3.2 Mengenoperationen
35
1.3.3 Beziehungen, Gesetze, Rechenregeln
37
1.3.4 Relationen
38
1.3.5 Intervalle
40
1.3.6 Unscharfe Mengen
40
1.4 Zahlensysteme
42
1.4.1 Polyadische Zahlensysteme
42
1.4.2 Römisches Zahlensystem
47
2 Arithmetik
48
2.1 Menge der reellen Zahlen
48
2.1.1 Standard-Zahlenmengen
48
2.1.2 Grundoperationen an reellen Zahlen
50
2.1.2.1 Die vier Grundrechenarten
50
2.1.2.2 Proportionen, Verhältnisgleichungen
54
2.1.2.3 Prozentrechnung
55
2.1.2.4 Näherung
56
2.1.2.5 Fehlerrechnung
57
2.1.2.6 Betrag und Signum
58
2.1.2.7 Summen- und Produktzeichen
59
2.1.3 Potenzen und Wurzeln
61
2.1.4 Logarithmen
63
2.1.5 Fakultät und Binomialkoeffizient
65
2.2 Menge der komplexen Zahlen
68
2.2.1 Grundbegriffe
68
2.2.2 Darstellungsformen komplexer Zahlen
71
2.2.3 Grundrechenarten mit komplexen Zahlen
72
2.2.4 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
73
2.2.5 Natürliche Logarithmen komplexer Zahlen
75
2.3 Kombinatorik
76
2.3.1 Permutationen
76
2.3.2 Variationen
78
2.3.3 Kombinationen
79
2.4 Folgen
81
2.4.1 Allgemeines
81
2.4.2 Schranken, Grenzen, Grenzwert einer Folge
82
2.4.3 Arithmetische und geometrische Folgen
85
2.4.4 Finanzmathematik
88
2.4.4.1 Zinsrechnung
88
2.4.4.2 Zinseszinsrechnung
89
2.4.4.3 Rentenrechnung
90
2.4.4.4 Schuldentilgung, Annuität
91
3 Gleichungen und Ungleichungen
93
3.1 Allgemeines
93
3.2 Lineare algebraische Gleichungen und Ungleichungen
98
3.2.1 Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen
98
3.2.2 Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit mehreren Variablen
100
3.3 Nichtlineare Gleichungen
103
3.3.1 Nichtlineare algebraische Gleichungen
103
3.3.1.1 Quadratische Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen
103
3.3.1.2 Quadratisches Gleichungssystem mit zwei Variablen
105
3.3.1.3 Kubische Gleichungen
106
3.3.1.4 Gleichungen 4. Grades
108
3.3.1.5 Symmetrische Gleichungen
108
3.3.1.6 Algebraische Gleichungen n-ten Grades
109
3.3.1.7 Horner-Schema
110
3.3.1.8 Wurzelgleichungen mit einer Variablen
113
3.3.2 Transzendente Gleichungen
113
3.3.2.1 Exponentialgleichungen
113
3.3.2.2 Logarithmische Gleichungen
114
3.3.2.3 Goniometrische Gleichungen
115
3.3.2.4 Betragsgleichungen und -ungleichungen
116
3.4 Numerische Verfahren
116
3.4.1 Bisektionsverfahren
117
3.4.2 Fixpunktiteration
118
3.4.3 Newtonsches (Tangenten-)Näherungsverfahren
120
3.4.4 Sekantenmethode (Regula falsi)
121
3.5 Nichtlineare Gleichungssysteme
122
3.6 Grafische Lösung von Gleichungen
125
4 Elementare Geometrie
126
4.1 Planimetrie, ebene Trigonometrie
126
4.1.1 Winkel
126
4.1.2 Teilungen, Ähnlichkeit, Kongruenz, Symmetrie
128
4.1.3 Dreieck
131
4.1.3.1 Schiefwinkliges Dreieck
132
4.1.3.2 Gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck
137
4.1.3.3 Rechtwinkliges Dreieck
138
4.1.4 Vierecke
140
4.1.4.1 Trapez
140
4.1.4.2 Parallelogramme
141
4.1.4.3 Unregelmäßige Vierecke mit Umkreis bzw. Inkreis
142
4.1.5 Vielecke (Polygone)
143
4.1.5.1 Ebene sternförmige n-Ecke
143
4.1.5.2 Regelmäßige (reguläre) Vielecke
143
4.1.5.3 Einige bestimmte regelmäßige Vielecke
144
4.1.5.4 Konstruktion der einfachen regelmäßigen Vielecke
145
4.1.6 Der Kreis
146
4.1.6.1 Sätze zum Kreis
146
4.1.6.2 Kreisberechnungen
147
4.2 Geometrische Körper (Stereometrie)
149
4.2.1 Allgemeines
149
4.2.2 Ebenflächig begrenzte Körper (Polyeder, Vielflache)
151
4.2.2.1 Prismatische Körper
151
4.2.2.2 Pyramide, Pyramidenstumpf
152
4.2.2.3 Prismoid
153
4.2.2.4 Die fünf regelmäßigen Polyeder
154
4.2.3 Krummflächig begrenzte Körper
156
4.2.3.1 Zylinder, Zylinderabschnitt
156
4.2.3.2 Kegel, Kegelstumpf
157
4.2.3.3 Kugel
158
4.2.3.4 Tonne, Torus
160
4.2.3.5 Fraktale Geometrie
160
4.3 Sphärische Trigonometrie
162
4.3.1 Allgemeines
162
4.3.2 Rechtwinkliges sphärisches Dreieck
163
4.3.3 Schiefwinkliges sphärisches Dreieck
164
4.3.4 Berechnung sphärischer Dreiecke
166
4.3.5 Mathematische Geografie
167
5 Lineare Algebra
170
5.1 Vektorraum
170
5.2 Matrizen
174
5.2.1 Matrizenarten, Definitionen
174
5.2.1.1 Allgemeines
174
5.2.1.2 Quadratische Matrizen
176
5.2.1.3 Inverse Matrix, (Um)Kehrmatrix
182
5.2.1.4 Rang einer Matrix
183
5.2.1.5 Matrizennormen
184
5.2.1.6 Grenzwert, Differenzialquotient, Integral
185
5.2.2 Matrizengesetze
185
5.2.2.1 Gleichheit und Summe zweier Matrizen
185
5.2.2.2 Multiplikation von Matrizen
185
5.2.3 Matrizengleichungen
188
5.2.4 Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer Matrizen
189
5.2.5 Numerische Verfahren
192
5.2.5.1 Householder-Orthogonalisierung(-Transformation)
192
5.2.5.2 QR-Verfahren
193
5.2.5.3 Vektoriteration (Potenzmethode, v.-Mises-Verfahren)
194
5.3 Determinanten
195
5.3.1 Determinante einer quadratischen Matrix
195
5.3.2 Berechnung von Determinanten
196
5.3.3 Rechenregeln für Determinanten
198
5.3.4 Praktische Berechnung einer Determinante
199
5.4 Lineare Gleichungssysteme
200
5.4.1 Allgemeines
200
5.4.2 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
201
5.4.3 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
203
5.4.3.1 Einfacher und verketteter Gaußscher Algorithmus
204
5.4.3.2 Gaußscher Algorithmus für Systeme mit gleicher Matrix A und m rechten Seiten
208
5.4.3.3 Gauß-Jordan-Verfahren zur Matrixinversion
209
5.4.3.4 Gaußscher Algorithmus für symmetrische, positiv definite Koeffizientenmatrix, Cholesky-Verfahren
210
5.4.3.5 Gleichungssysteme mit symmetrischer, tridiagonaler, positiv definiter Matrix
211
5.4.3.6 Gauß-Seidelsches Iterationsverfahren
211
5.4.3.7 Austauschverfahren
215
5.4.4 Cramersche Regel
215
5.4.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
216
5.5 Lineare Optimierung
218
5.5.1 Allgemeines
218
5.5.2 Grafische Lösung für zwei Variable
220
5.5.3 Simplexalgorithmus
221
5.6 Abbildungen
225
5.6.1 Lineare Abbildungen
225
5.6.2 Affine Abbildungen
228
5.6.2.1 Allgemeines
228
5.6.2.2 Allgemeine, nicht winkeltreue affine
5.6.2.2 Allgemeine, nicht winkeltreue affine
233
233
5.6.2.3 Ähnlichkeitsabbildungen
236
5.6.2.4 Kongruenzabbildungen
237
5.7 Koordinatentransformation
240
5.7.1 Allgemeines
240
5.7.2 Orthogonale Koordinatentransformation in der Ebene
241
5.7.3 Orthogonale Koordinatentransformation im Raum
242
6 Vektoren, Analytische Geometrie
246
6.1 Vektoren, Grundlagen
246
6.2 Vektoralgebra
251
6.2.1 Addition und Subtraktion von Vektoren
251
6.2.2 Multiplikation von Vektoren
253
6.2.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
253
6.2.2.2 Skalarprodukt (inneres Produkt, Punktprodukt)
253
6.2.2.3 Vektorprodukt (äußeres Produkt, Kreuzprodukt)
255
6.2.2.4 Mehrfache Produkte von Vektoren
257
6.3 Koordinatensysteme
258
6.3.1 Allgemeines
258
6.3.2 Ebene (2D-)Koordinatensysteme
259
6.3.3 Räumliche (3D-)Koordinatensysteme
260
6.4 Punkte, Kurven 1. Ordnung
263
6.4.1 Punkte
263
6.4.2 Gerade, Strahl, Strecke
264
6.4.2.1 Punktmengen, Teilung einer Strecke
264
6.4.2.2 Gleichungen einer Geraden in der(x, y)-Ebene
266
6.4.2.3 Gleichungen einer Geraden im Raum
268
6.4.2.4 Abstand eines Punktes von einer Geraden
271
6.4.3 Mehrere Geraden
272
6.4.3.1 Schnittpunkt zweier Geraden
272
6.4.3.2 Schnittwinkel zweier Geraden
274
6.4.3.3 Abstand zweier Geraden
276
6.4.3.4 Drei und mehr Geraden
277
6.5 Ebenen
278
6.5.1 Eine Ebene
278
6.5.1.1 Gleichungen einer Ebene im Raum
278
6.5.1.2 Richtungskosinus der Normalen einer Ebene
282
6.5.1.3 Abstand eines Punktes P1 von einer Ebene
283
6.5.1.4 Durchstoßpunkt D einer Geraden durch eine Ebene
284
6.5.1.5 Winkel phi zwischen Gerade und Ebene
285
6.5.2 Zwei Ebenen
286
6.5.3 Drei und mehr Ebenen
287
6.5.4 Flächeninhalt, Schwerpunkt, Volumen
287
6.6 Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte)
289
6.6.1 Allgemeines
289
6.6.2 Kreis
291
6.6.2.1 Gleichungen des Kreises
291
6.6.2.2 Schnittpunkte einer Geraden mit einem Kreis
293
6.6.2.3 Tangente und Normale eines Kreises
294
6.6.2.4 Polare eines Punktes in Bezug auf einen Kreis
294
6.6.2.5 Potenz p eines Punktes in Bezug auf einen Kreis
295
6.6.2.6 Kreisbüschel
296
6.6.3 Ellipse
296
6.6.3.1 Gleichungen der Ellipse
296
6.6.3.2 Schnittpunkte einer Geraden mit einer Ellipse
298
6.6.3.3 Tangente, Normale und Durchmesser einer Ellipse
299
6.6.3.4 Polare eines Punktes in Bezug auf eine Ellipse
300
6.6.3.5 Krümmung einer Ellipse
300
6.6.3.6 Haupt- und Nebenkreis einer Ellipse
301
6.6.3.7 Flächeninhalt und Umfang von Ellipse, Ellipsensegment und Ellipsensektor
301
6.6.3.8 Ellipsenkonstruktionen
302
6.6.4 Parabel
304
6.6.4.1 Gleichungen der Parabel
304
6.6.4.2 Schnittpunkte einer Geraden mit einer Parabel
306
6.6.4.3 Tangente und Normale einer Parabel
307
6.6.4.4 Polare eines Punktes in Bezug auf eine Parabel
307
6.6.4.5 Krümmung einer Parabel
308
6.6.4.6 Parabelsegment, Parabelbogen, Brennstrahl
308
6.6.4.7 Parabelkonstruktionen
309
6.6.5 Hyperbel
310
6.6.5.1 Gleichungen der Hyperbel
311
6.6.5.2 Schnittpunkt einer Geraden mit einer Hyperbel
313
6.6.5.3 Tangente und Normale einer Hyperbel
314
6.6.5.4 Polare eines Punktes in Bezug auf eine Hyperbel
315
6.6.5.5 Krümmung einer Hyperbel
316
6.6.5.6 Hyperbelsegment und Hyperbelsektor
317
6.6.5.7 Hyperbelkonstruktionen
317
6.7 Flächen 2. Ordnung
319
6.7.1 Allgemeines
319
6.7.2 Kugel
320
6.7.3 Ellipsoid
321
6.7.4 Hyperboloid
322
6.7.5 Kegel
324
6.7.6 Zylinder
325
6.7.7 Paraboloid
326
6.8 Hauptachsentransformation
328
7 Funktionen und Kurven
337
7.1 Allgemeines
337
7.1.1 Funktionen mit einer unabhängigen Variablen
337
7.1.2 Funktionen mit mehreren Variablen
341
7.2 Rationale Operationen mit Funktionen
343
7.3 Grenzwerte, unbestimmte Ausdrücke
344
7.3.1 Grenzwert einer Funktion
344
7.3.2 Unbestimmte Ausdrücke
347
7.4 Eigenschaften reeller Funktionen
349
7.4.1 Ausgewählte Eigenschaften
349
7.4.2 Nullstellen einer Funktion
352
7.4.3 Stetigkeit einer Funktion
353
7.5 Ausgewählte Funktionen
356
7.6 Rationale Funktionen
358
7.6.1 Ganzrationale Funktionen (Polynome)
358
7.6.2 Interpolation
361
7.6.2.1 Allgemeines
361
7.6.2.2 Interpolationsformel von Lagrange
362
7.6.2.3 Interpolationsformel von Newton
363
7.6.2.4 Interpolation durch kubische Splines
365
7.6.3 Gebrochenrationale Funktionen
368
7.7 Nichtrationale Funktionen
370
7.7.1 Allgemeine Potenzfunktionen
370
7.7.2 Exponentialfunktionen
371
7.7.3 Logarithmusfunktionen
374
7.7.4 Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen
375
7.7.4.1 Allgemeines
375
7.7.4.2 Goniometrische Beziehungen
379
7.7.4.3 Allgemeine Sinusfunktion (harmonische Schwingung)
383
7.7.4.4 Modulation
384
7.7.4.5 Überlagerung (Superposition) von Schwingungen
386
7.7.4.6 Komplexe Zeigerdarstellung von Sinusgrößen
390
7.7.5 Zyklometrische Funktionen, Arkusfunktionen
392
7.7.6 Hyperbelfunktionen
396
7.7.7 Areafunktionen
401
7.8 Algebraische Kurven höherer Ordnung
403
7.8.1 Kurven 3. Ordnung
404
7.8.2 Kurven 4. Ordnung
405
7.9 Zykloiden (Rollkurven)
407
7.9.1 Gewöhnliche (gespitzte) Zykloide
407
7.9.2 Epizykloiden
408
7.9.3 Hypozykloiden
410
7.10 Spirallinien
412
7.10.1 Logarithmische Spirale
412
7.10.2 Archimedische Spirale
413
7.10.3 Hyperbolische Spirale
413
7.11 Weitere ebene Kurven
414
7.11.1 Kettenlinie
414
7.11.2 Traktrix
415
7.12 Komplexe Funktionen
415
7.12.1 Allgemeines
415
7.12.2 Konforme Abbildungen
418
7.12.2.1 Lineare und quadratische konforme Abbildungen
418
7.12.2.2 Möbius-Abbildung und Inversion
419
8 Differenzialrechnung
423
8.1 Funktionen einer Variablen
423
8.1.1 Allgemeines
423
8.1.2 Erste Ableitungen der elementaren Funktionen
425
8.1.3 Differenziationsregeln, Ableitungsregeln
426
8.1.3.1 Grundregeln
426
8.1.3.2 Höhere Ableitungen und Differenziale
428
8.1.3.3 Differenziation impliziter Funktionen
8.1.3.3 Differenziation impliziter Funktionen
429
429
8.1.3.4 Differenziation von Funktionen in Parameterform
430
8.1.3.5 Differenziation von Funktionen in Polarkoordinaten
430
8.1.4 Grafische Differenziation
431
8.1.5 Numerische Differenziation
431
8.1.6 Logarithmische Differenziation
432
8.1.7 Mittelwertsätze
433
8.2 Funktionen mehrerer Variablen
434
8.2.1 Partielle Ableitung 1. Ordnung
434
8.2.2 Höhere partielle Ableitungen
435
8.2.3 Totale Ableitungen für zwei Variable
436
8.3 Anwendungen, Differenzialgeometrie
438
8.3.1 Ebene Kurven
438
8.3.1.1 Bogenelement, Differenzial der Bogenlänge
438
8.3.1.2 Tangente und Normale
438
8.3.1.3 Zwei Kurven
440
8.3.1.4 Monotonie und Krümmungsverhalten einer Funktion
441
8.3.1.5 Lokale Extrema von Funktionen
445
8.3.1.6 Besondere Punkte einer Kurve
449
8.3.1.7 Asymptoten
451
8.3.1.8 Einhüllende Kurven (Enveloppe)
452
8.3.1.9 Kurvendiskussion
452
8.3.2 Raumkurven
452
8.3.2.1 Darstellungen in kartesischen Koordinaten
452
8.3.2.2 Bogenelement einer Raumkurve
453
8.3.2.3 Tangente und Normale einer Raumkurve
453
8.3.2.4 Krümmung einer Raumkurve
457
8.3.2.5 Windung (Torsion)
458
8.3.3 Flächen im Raum
459
8.3.4 Extremstellen von Funktionen mit mehreren Variablen
466
9 Integralrechnung
469
9.1 Allgemeines
469
9.1.1 Unbestimmtes Integral
469
9.1.2 Bestimmtes Integral (Riemannsches Integral)
470
9.1.3 Uneigentliche Integrale
473
9.2 Grundintegrale, Stammintegrale
475
9.3 Integrationsregeln und -verfahren
476
9.3.1 Grundregeln der Integralrechnung
476
9.3.2 Integration durch Substitution
476
9.3.3 Partielle Integration (Produktintegration)
480
9.3.4 Integration nach Partialbruchzerlegung
480
9.3.5 Integration nach Reihenentwicklung
483
9.3.6 Grafische Integration
485
9.4 Numerische Integration
486
9.4.1 Allgemeines
486
9.4.2 Newton-Cotes-Formeln
487
9.4.2.1 Rechteckformel
489
9.4.2.2 Sehnentrapezformel
490
9.4.2.3 Simpsonsche Formel, Keplersche Fassformel
491
9.4.2.4 Newtonsche 3/8-Formel
492
9.4.2.5 Tangententrapezformel
493
9.4.3 Gausssches Quadraturverfahren
493
9.4.4 Romberg-Quadraturverfahren
494
9.5 Bereichsintegrale, Gebietsintegrale
497
9.5.1 Zweidimensionales Bereichsintegral, Doppelintegral
497
9.5.2 Raumintegral, Volumenintegral, Dreifachintegral
500
9.6 Anwendungen der Integralrechnung
501
9.6.1 Geometrische Anwendungen
501
9.6.1.1 Flächeninhalte (Quadratur)
501
9.6.1.2 Bogenlänge (Rektifikation)
504
9.6.1.3 Mantelflächen von Rotationskörpern (Komplanation)
504
9.6.1.4 Volumen von Rotationskörpern (Kubatur)
504
9.6.1.5 Volumen eines Körpers
505
9.6.2 Technisch-physikalische Anwendungen
506
9.6.2.1 Bewegungen, Kinematik
506
9.6.2.2 Arbeit
506
9.6.2.3 Zeitlich veränderliche Ströme und Spannungen
507
9.6.2.4 Momente 1. Grades
507
9.6.2.5 Schwerpunkte
509
9.6.2.6 Momente 2. Grades (Festigkeitslehre)
511
9.6.2.7 Massenmomente 2. Grades (Dynamik)
512
10 Vektoranalysis
514
10.1 Vektorfunktionen
514
10.2 Felder
515
10.3 Gradient eines skalaren Feldes
518
10.4 Divergenz eines Vektorfeldes
520
10.5 Rotation eines Vektorfeldes
522
10.6 Kurvenintegrale (Linienintegrale)
524
10.6.1 Kurvenintegral erster Art
524
10.6.2 Kurvenintegral (zweiter Art)
525
10.7 Flächenintegrale (Oberflächenintegrale)
530
10.7.1 Flächenintegral erster Art
530
10.7.2 Flächenintegral zweiter Art
531
10.8 Integralsätze
533
10.8.1 Gaussscher Integralsatz
533
10.8.2 Stokesscher Integralsatz
535
11 Differenzialgleichungen
538
11.1 Allgemeines
538
11.1.1 Differenzialgleichungen, Arten
538
11.1.2 Gewöhnliche Differenzialgleichungen
539
11.2 Differenzialgleichungen 1. Ordnung
544
11.2.1 Differenzialgleichungen mit trennbaren Variablen
544
11.2.2 Gleichgradige Differenzialgleichungen 1. Ordnung
546
11.2.3 Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung
547
11.2.3.1 Homogene lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung
547
11.2.3.2 Inhomogene lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung
548
11.2.4 Totale Differenzialgleichungen
550
11.2.5 Integrierender Faktor
551
11.2.6 Bernoullische Differenzialgleichung
552
11.2.7 Riccatische Differenzialgleichung
552
11.2.8 Clairautsche Differenzialgleichung
553
11.3 Differenzialgleichungen 2. Ordnung
554
11.3.1 Sonderfälle, Erniedrigung der Ordnung
554
11.3.2 Homogene lineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
556
11.3.3 Homogene lineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung mit veränderlichen Koeffizienten
557
11.3.4 Inhomogene lineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
558
11.3.5 Inhomogene lineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung mit veränderlichen Koeffizienten
562
11.3.6 Besselsche Differenzialgleichung
564
11.3.7 Anwendungsfall Schwingungen
566
11.4 Differenzialgleichungen n-ter Ordnung
569
11.5 Lineare Differenzialgleichungssysteme
573
11.6 Näherungslösungen für Differenzialgleichungen 1. Ordnung
575
11.6.1 Verfahren unbestimmter Koeffizienten
575
11.6.2 Iterationsverfahren
577
11.7 Anfangswertprobleme
578
11.7.1 Allgemeines
578
11.7.2 Explizite Einschrittverfahren
581
11.7.2.1 Polygonzugverfahren von Euler-Cauchy
581
11.7.2.2 Heun-Verfahren
583
11.7.2.3 Klassisches Verfahren von Runge-Kutta
583
11.7.2.4 Einbettungsformeln
584
11.7.3 Mehrschrittverfahren
584
11.7.3.1 Explizitverfahren von Adams-Bashforth
585
11.7.3.2 Prädiktor-Korrektor-Verfahren von Adams-Moulton
585
11.7.4 Extrapolationsverfahren von Bulirsch-Stoer-Gragg
587
11.8 Randwertprobleme
587
11.8.1 Allgemeines
587
11.8.2 Schießverfahren
589
11.8.3 Direkte Differenzenapproximation
590
11.9 Partielle Differenzialgleichungen
593
11.9.1 Allgemeines
593
11.9.2 Partielle Differenzialgleichung 1. Ordnung
593
11.9.3 Partielle Differenzialgleichung 2. Ordnung
595
12 Reihen, F- und L-Transformation
597
12.1 Unendliche Reihen
597
12.1.1 Unendliche Zahlenreihen
597
12.1.2 Summen einiger konvergenter Zahlenreihen
600
12.1.3 Potenzreihen
601
12.1.3.1 Allgemeines
601
12.1.3.2 Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen
603
12.1.4 Numerische Berechnung von Reihen
606
12.1.5 Zusammenstellung fertig entwickelter Reihen
607
12.1.6 Näherungsformeln
611
12.2 Fourier-Reihen
613
12.2.1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion
613
12.2.2 Numerische harmonische Analyse
619
12.2.3 Ausgewählte Fourier-Reihen
620
12.3 Fourier-Transformation
626
12.4 Laplace-Transformation
629
12.4.1 Laplace-Transformation, Allgemeines
629
12.4.2 Rechenregeln der Laplace-Transformation
631
12.4.3 Anwendungen der Laplace-Transformation
634
12.4.3.1 Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen
634
12.4.3.2 Test linearer Übertragungsglieder
638
12.4.4 Korrespondenztabelle der Laplace-Transformationen
641
13 Statistik, Stochastik
645
13.1 Beschreibende (deskriptive) Statistik
645
13.1.1 Grundbegriffe
645
13.1.2 Lageparameter
649
13.1.3 Streuungsparameter
654
13.1.4 Korrelation
657
13.1.5 Lineare Ausgleichsrechnung
659
13.1.5.1 Methode der kleinsten Quadrate
659
13.1.5.2 Ausgleichende Gerade
660
13.1.5.3 Ausgleichende Parabel
661
13.1.5.4 Multiple Regression
662
13.1.6 Fehlerfortpflanzung
663
13.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung
667
13.2.1 Zufallsexperiment und Ereignis
667
13.2.2 Definition der Wahrscheinlichkeit
669
13.2.3 Sätze über Wahrscheinlichkeiten
670
13.2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit und unabhängige Ereignisse
672
13.2.5 Zufällige Variable
675
13.2.6 Kenngrößen von zufälligen Variablen
678
13.2.6.1 Erwartungswert
678
13.2.6.2 Varianz und Standardabweichung
680
13.2.6.3 Schiefe und Exzess
682
13.2.7 Ausgewählte diskrete Verteilungen
683
13.2.7.1 Diskrete Gleichverteilung
683
13.2.7.2 Bernoulli-Verteilung
684
13.2.7.3 Binomialverteilung
684
13.2.7.4 Poisson-Verteilung
687
13.2.7.5 Hypergeometrische Verteilung
689
13.2.7.6 Geometrische Verteilung
690
13.2.8 Ausgewählte stetige Verteilungen
691
13.2.8.1 Stetige Gleichverteilung (Rechteckverteilung)
691
13.2.8.2 Normalverteilung
691
13.2.8.3 Exponentialverteilung
697
13.2.8.4 .²-Verteilung
698
13.2.8.5 t-Verteilung (Student-Verteilung)
699
13.3 Schließende (induktive) Statistik
700
13.3.1 Grundbegriffe
700
13.3.2 Punktschätzungen
701
13.3.3 Intervallschätzungen
703
13.3.3.1 Konfidenzintervall für den Anteil p
704
13.3.3.2 Konfidenzintervalle für den Erwartungswert µ
705
13.3.3.3 Konfidenzintervall für die Varianz s² eines normalverteilten Merkmals
13.3.3.3 Konfidenzintervall für die Varianz s² eines normalverteilten Merkmals
13.3.4 Hypothesentests
709
13.3.4.1 Allgemeines über Tests
709
13.3.4.2 Test über den Anteil p
711
13.3.4.3 Tests über den Erwartungswert µ
714
13.3.4.4 Test über die Varianz s²
717
13.3.4.5 .²-Anpassungstest
718
14 Integraltabellen
721
14.1 Integrale rationaler Funktionen
722
14.1.1 Integrale mit ax + b
722
14.1.2 Integrale mit ax + b, cx + d
725
14.1.3 Integrale mit ax² + bx + c
726
14.1.4 Integrale mit a² ± x²
728
14.1.5 Integrale mit a³ ± x³
731
14.1.6 Integrale mit a^4 + x^4, a^4 - x^4
732
14.2 Integrale nichtrationaler Funktionen
732
14.2.1 Integrale mit \sqrt{x^n} und (a² ± b²x)^m
732
14.2.2 Integrale mit \sqrt{(ax+b)^n}
733
14.2.3 Integrale mit \sqrt{(ax+b)^n}, \sqrt{(cx+d)^m}
735
14.2.4 Integrale mit \sqrt{(a²+x²)^n}
737
14.2.5 Integrale mit \sqrt{(a²-x²)^n}
740
14.2.6 Integrale mit \sqrt{(x²-a²)^n}
742
14.2.7 Integrale mit \sqrt{(ax²+bx+c)^n}
745
14.3 Integrale transzendenter Funktionen
748
14.3.1 Integrale mit e^{ax} (Exponentialfunktionen)
748
14.3.2 Integrale der Hyberbelfunktionen
749
14.3.3 Integrale mit ln x (logarithmische Funktion)
751
14.3.4 Integrale mit sin ax
752
14.3.5 Integrale mit cos ax
755
14.3.6 Integrale mit sin ax und cos ax bzw. cos bx
758
14.3.7 Integrale mit tan ax bzw. cot ax
762
14.3.8 Integrale der Arkusfunktionen
764
14.3.9 Integrale der Areafunktionen
765
14.4 Bestimmte und uneigentliche Integrale
766
Anhang
774
Sachwortverzeichnis
785
© 2009-2024 ciando GmbH