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Helge Röpcke, Markus Wessler, Robert Galata, Markus Wessler (Hrsg.)
Wirtschaftsmathematik
Methoden - Beispiele - Anwendungen
Vorwort
7
Inhalt
10
1 Mathematische Grundlagen
15
1.1 Folgen, Summen und Reihen
15
1.1.1 Grundlagen
15
1.1.2 Summenformeln
18
1.1.3 Grenzwerte von Folgen
22
1.2 Einige wichtige Funktionen
27
1.2.1 Lineare Funktionen
28
1.2.2 Quadratische Funktionen
32
1.2.3 Kubische Funktionen
34
1.2.4 Ganzrationale Funktionen
36
1.2.5 Gebrochenrationale Funktionen
37
1.2.6 Exponentialfunktionen
39
1.2.7 Logarithmusfunktionen
43
Übungen zum Kapitel 1
46
2 Differenzialrechnung in R
50
2.1 Grundlagen
50
2.1.1 Stetigkeit und Differenzierbarkeit
50
2.1.2 Ableitungsfunktion und Ableitungsregeln
51
2.1.3 Ableitungen höheren Grades
56
2.1.4 Linearisierung und Änderungsraten
57
2.2 Numerische Lösung von Gleichungen
59
2.2.1 Die Idee des Newton-Verfahrens
60
2.2.2 Formalisierung des Iterationsschritts
62
2.2.3 Mögliche Probleme beim Newton-Verfahren
64
2.3 Monotonie und Krümmung
65
2.3.1 Monotonieverhalten
65
2.3.2 Krümmungsverhalten
67
2.3.3 Ökonomische Bedeutung von Monotonie und Krümmung
70
2.4 Optimierung von Funktionen
72
2.4.1 Lokale Extrema
72
2.4.2 Berechnung lokaler Extrema mit Differenzialrechnung
74
2.4.3 Globale Extrema
76
2.4.4 Wendepunkte
76
2.5 Anwendung der Differenzialrechnung auf ökonomische Funktionen
78
2.5.1 Kostenfunktionen
79
2.5.2 Absatz, Preis, Umsatz und Gewinn
81
2.5.3 Betriebsoptimum und Betriebsminimum
85
2.5.4 Angebot und Nachfrage
86
2.5.5 Produktionsfunktionen
89
2.5.6 Elastizität
90
Übungen zum Kapitel 2
94
3 Integralrechnung in R
97
3.1 Unbestimmtes und bestimmtes Integral
97
3.1.1 Stammfunktionen
97
3.1.2 Der Integralbegriff
98
3.1.3 Partielle Integration
101
3.1.4 Substitution
102
3.2 Flächenberechnung
103
3.2.1 Der Zugang über Summen
103
3.2.2 Flächenfunktionen
106
3.2.3 Konkrete Flächenberechnungen
108
3.3 Ökonomische Anwendungen der Integralrechnung
112
3.3.1 Individuelle und kumulierte Konsumentenrente
112
3.3.2 Konsumentenrente und Produzentenrente am Markt
113
3.4 Uneigentliche Integrale
116
3.4.1 Unbegrenzte Flächen
116
3.4.2 Deutung als Wahrscheinlichkeiten
119
3.4.3 Die Exponentialverteilung bei Warteprozessen
121
Übungen zum Kapitel 3
123
4 Lineare Algebra
126
4.1 Lineare Gleichungssysteme
126
4.1.1 Der Fall einer Variablen
126
4.1.2 Der Fall mehrerer Variablen
127
4.1.3 Systeme linearer Gleichungen in mehreren Variablen
129
4.1.4 Formulierung von LGS mit Matrizen
132
4.2 Der Gauß-Algorithmus
133
4.2.1 Der Fall quadratischer Koeffizientenmatrizen
133
4.2.2 Die drei Fälle der Lösbarkeit
136
4.2.3 Der Fall beliebiger Koeffizientenmatrizen
137
4.2.4 Der Gauß-Algorithmus in der Übersicht
139
4.3 Anwendungen des Gauß-Algorithmus in der Praxis
141
4.3.1 Probleme mit eindeutiger Lösbarkeit
141
4.3.2 Probleme mit mehrdeutiger Lösbarkeit
143
4.4 Matrizen
146
4.4.1 Grundlagen
146
4.4.2 Rechnen mit Matrizen
147
4.4.3 Deutung der Matrizenmultiplikation
150
4.4.4 Das Invertieren von Matrizen
153
4.4.5 Determinanten
156
4.4.6 Minoren und Entwicklungssatz nach Laplace
159
4.5 Ökonomische Anwendungen von Matrizen
162
4.5.1 Input-Output–Analyse
162
4.5.2 Innerbetriebliche Leistungsverrechnung
165
4.5.3 Markow-Ketten
167
Übungen zum Kapitel 4
171
5 Lineare Optimierung
176
5.1 Einführung
176
5.1.1 Warum lineare Funktionen?
176
5.1.2 Graphische Darstellungen
177
5.1.3 Erste Schritte zur Optimierung
179
5.1.4 Formalisierung des Problems
181
5.2 Die graphische Methode
182
5.2.1 Der zulässige Bereich eines Optimierungsproblems
183
5.2.2 Die Zielfunktion und die Gradientenrichtung
185
5.2.3 Graphische lineare Optimierung
186
5.3 Der Simplex-Algorithmus
190
5.3.1 Die Schlupfvariablen und das Starttableau
191
5.3.2 Basisvariablen
193
5.3.3 Der Basiswechsel
194
5.3.4 Das Verfahren im Überblick
197
5.4 Methoden zur Minimierung
201
5.4.1 Die Zwei-Phasen-Methode
201
5.4.2 Der duale Simplex-Algorithmus
206
5.5 Diskrete lineare Optimierung
210
5.5.1 Grundbegriffe
211
5.5.2 Ganzzahlige lineare Optimierung
211
5.5.3 Binäre lineare Optimierung
216
Übungen zum Kapitel 5
220
6 Differenzialrechnung in R^n
223
6.1 Ableitungsfunktionen
223
6.1.1 Steigungen und Änderungsraten
223
6.1.2 Höhere Ableitungen und Hesse-Matrizen
229
6.2 Optimierung von Funktionen in mehreren Variablen
232
6.2.1 Der Fall zweier Variablen
232
6.2.2 Der Fall beliebig vieler Variablen
235
6.2.3 Globale Extrema
237
6.3 Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
238
6.3.1 Substitution
239
6.3.2 Lagrange-Methode mit einer Nebenbedingung
245
6.3.3 Bedeutung des Lagrangeschen Multiplikators
249
6.3.4 Lagrange-Methode mit mehreren Nebenbedingungen
251
Übungen zum Kapitel 6
254
7 Finanzmathematik
256
7.1 Grundlagen der Zinsrechnung
256
7.1.1 Wachstumsfaktoren
256
7.1.2 Lineare Verzinsung
259
7.1.3 Exponentielle und kalenderjährliche Verzinsung
261
7.1.4 Unterperiodische Verzinsung
263
7.1.5 Stetige Verzinsung als Grenzübergang diskreter Verzinsungen
266
7.1.6 Inflation
269
7.2 Zahlungsreihen
271
7.2.1 Kalkulationszins und Zahlungsreihen
271
7.2.2 Anpassung der Perioden
275
7.2.3 Äquivalenz von Zahlungsreihen
277
7.3 Rentenrechnung
278
7.3.1 Nachschüssige und vorschüssige Renten
278
7.3.2 Anpassung der Perioden mit der Ersatzrente
280
7.3.3 Ewige Renten
283
7.4 Tilgungsrechnung
284
7.4.1 Der Zahlungsstrom eines Kredits
284
7.4.2 Tilgungspläne
285
7.4.3 Ratentilgung
286
7.4.4 Reguläre Annuitätentilgung
287
7.4.5 Prozentannuitätentilgung
289
7.4.6 Prozentannuitätentilgung mit Disagio
291
7.5 Investitionsrechnung
293
7.5.1 Normalinvestitionen und Kapitalwert
293
7.5.2 Annuitäten von Investitionsreihen
295
7.5.3 Interner Zinsfuß bei Normalinvestitionen
296
7.5.4 Interner Zinsfuß bei Nicht-Normalinvestitionen
300
7.6 Portfolio-Optimierung
302
7.6.1 Optimierung eines Portfolios zweier Aktien
303
7.6.2 Optimierung eines Portfolios beliebig vieler Aktien
306
Übungen zum Kapitel 7
308
Sachwortverzeichnis
312
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