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Michael Knorrenschild
Numerische Mathematik
Eine beispielorientierte Einführung
Inhaltsverzeichnis
7
1 Rechnerarithmetik und Gleitpunktzahlen
10
1.1 Grundbegriffe und Gleitpunktarithmetik
10
1.2 Auslöschung
17
1.3 Fehlerrechnung
18
1.3.1 Fehlerfortpflanzung in arithmetischen Operationen
18
1.3.2 Fehlerfortpflanzung bei Funktionsauswertungen
19
2 Numerische Lösung von Nullstellenproblemen
26
2.1 Problemstellung
26
2.2 Das Bisektionsverfahren
26
2.3 Die Fixpunktiteration
28
2.4 Das Newton-Verfahren
33
2.5 Konvergenzgeschwindigkeit
37
3 Numerische Lösung linearer Gleichungssysteme
40
3.1 Problemstellung
40
3.2 Der Gauß-Algorithmus
41
3.3 Fehlerfortpflanzung beim Gauß-Algorithmus und Pivotisierung
46
3.4 Dreieckszerlegungen von Matrizen
48
3.4.1 Die LR-Zerlegung
48
3.4.2 Die Cholesky-Zerlegung
50
3.4.3 Die QR-Zerlegung
53
3.5 Fehlerrechnung bei linearen Gleichungssystemen
60
3.6 Iterative Verfahren
65
4 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme
73
4.1 Problemstellung
73
4.2 Das Newton-Verfahren für Systeme
74
5 Interpolation
79
5.1 Problemstellung
79
5.2 Polynominterpolation
80
5.2.1 Das Neville-Aitken-Schema
85
5.2.2 Der Fehler bei der Polynominterpolation
86
5.3 Splineinterpolation
90
5.3.1 Problemstellung
90
5.3.2 Interpolation mit kubischen Splines
92
6 Ausgleichsrechnung
99
6.1 Problemstellung
99
6.2 Lineare Ausgleichsprobleme
100
6.3 Nichtlineare Ausgleichsprobleme
107
6.4 Das Gauß-Newton-Verfahren
109
7 Numerische Differenziation und Integration
113
7.1 Numerische Differenziation
113
7.1.1 Problemstellung
113
7.1.2 Differenzenformeln für höhere Ableitungen
118
7.1.3 Differenzenformeln für partielle Ableitungen
119
7.1.4 Extrapolation
120
7.2 Numerische Integration
127
7.2.1 Problemstellung
127
7.2.2 Interpolatorische Quadraturformeln
131
7.2.3 Der Quadraturfehler
131
7.2.4 Transformation auf das Intervall [a, b]
133
7.2.5 Der Fehler der summierten Quadraturformeln
135
7.2.6 Newton-Cotes-Formeln
137
7.2.7 Gauß-Formeln
137
7.2.8 Extrapolationsquadratur
140
7.2.9 Praktische Aspekte
144
8 Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differenzialgleichungen
146
8.1 Problemstellung
146
8.2 Das Euler-Verfahren
148
8.3 Praktische Aspekte
154
8.4 Weitere Einschrittverfahren
155
8.5 Weitere Verfahren
161
Lösungen
163
Literaturverzeichnis
182
Sachwortverzeichnis
183
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