Kerstin Rjasanowa
Mathematische Modelle im Bauingenieurwesen
Mit Fallstudien und numerischen Lösungen
Vorwort
6
Inhaltsverzeichnis
9
1 Lineare Gleichungssysteme - direkte Verfahren
14
1.1 Lineare Gleichungssysteme
15
1.2 Gauß-Algorithmus und LU-Zerlegung
18
1.3 Fallstudie: Berechnung von Stabkräften im Fachwerk
27
1.4 Cholesky-Zerlegung
33
1.5 Fallstudie: Berechnung von Verschiebungen und Stabkräften im Fachwerk
38
1.6 Aufgaben
48
2 Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme
50
2.1 Nichtlineare Gleichungen
50
2.1.1 Einleitung
51
2.1.2 Newton-Verfahren
52
2.1.3 Verfahren der einfachen Iteration
56
2.1.4 Bisektionsverfahren
59
2.1.5 Regula falsi und Sekantenverfahren
61
2.2 Fallstudie: Wasserabsenkung in einem voll-kommenen Brunnen
64
2.3 Fallstudie: Spiegellinie eines Fließgewässers
69
2.4 Fallstudie: Berechnung einer Streichwehran-lage
74
2.5 Fallstudie: Berechnung des internen Zinsfu-ßes
77
2.6 Nichtlineare Gleichungssysteme
81
2.7 Fallstudie: Berechnung von Wasserversor-gungsnetzen
84
2.8 Fallstudie: Berechnung von Dübelkräften in einer Ankerplatte
92
2.9 Aufgaben
97
3 Interpolation
100
3.1 Polynominterpolation
100
3.2 Newton-Interpolation
102
3.3 Lagrange-Interpolation
109
3.4 Kubische Interpolationssplines
113
3.5 Fallstudie: Straßenachsen in CAD-Systemen
121
3.6 Kubische Approximationssplines
128
3.7 Fallstudie: Proctorversuch
132
3.8 Bilineare Interpolation
134
3.9 Fallstudie: Berechnung eines unvollkomme-nen Überfalls
137
3.10 Aufgaben
139
4 Numerische Integration
141
4.1 Quadraturformel und Fehlerabschätzung
141
4.2 Geschlossene Newton-Cotes-Formeln
143
4.2.1 Rechteckregel
143
4.2.2 Trapezregel
143
4.2.3 Simpsonregel
143
4.2.4 Newton-3/8-Regel
144
4.3 Offene Newton-Cotes-Formeln
144
4.3.1 Mittelpunkt-Rechteckregel
145
4.3.2 Offene Newton-Cotes-Formel mit zwei Stützstel-len
145
4.3.3 Offene Newton-Cotes-Formel mit drei Stützstel-len
146
4.4 Zusammengesetzte Quadraturformeln
146
4.4.1 Geschlossene Newton-Cotes-Formeln
147
4.4.2 Offene Newton-Cotes-Formeln
148
4.5 Gauß-Quadraturformeln
150
4.6 Methode von Romberg
154
4.7 Fallstudie: Berechnung von Punkten einer Klothoide
157
4.8 Fallstudie: Mengenermittlung
162
4.9 Fallstudie: Seerückhalt bei gesteuertem Ab-fluss
165
4.10 Aufgaben
168
5 Numerische Differenziation
171
5.1 Konstruktion von Ableitungsformeln mit In-terpolationspolynomen
171
5.1.1 Fehler bei der Approximation von Ableitungen
174
5.1.2 Konstruktion mit der Taylor-Zerlegung
176
5.1.3 Rekursive Konstruktion
178
5.2 Differenziation fehlerbehafteter Funktionen
180
5.3 Fallstudie: Durchbiegung eines Balkens
182
5.4 Aufgaben
184
6 Ausgleichsrechnung
186
6.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate
186
6.2 Lineare Ausgleichsprobleme
188
6.3 Fallstudie: Plattendruckversuch
192
6.4 Fallstudie: Kelchüberfälle bei vollkommenem Abfluss
194
6.5 Nichtlineare Ausgleichsprobleme
197
6.6 Fallstudie: Ermittlung des Sättigungsverlau-fes poröser Medien
201
6.7 Aufgaben
203
7 Gewöhnliche Differenzialgleichungen
206
7.1 Anfangswertprobleme
206
7.1.1 Polygonzugverfahren von Euler
207
7.1.2 Trapezverfahren
208
7.1.3 Diskretisierungsfehler und Fehlerordnung
211
7.1.4 Runge-Kutta-Verfahren
214
7.1.5 Verfahren der Taylor-Reihe
218
7.2 Fallstudie: Flusslaufrückhalt
221
7.3 Fallstudie: Seerückhalt
225
7.4 Fallstudie: Schwingungsverhalten bei Stoß-belastung
229
7.5 Randwertprobleme – Methode der finiten Elemente (FEM)
232
7.6 Fallstudie: Biegelinie eines Balkens
239
7.7 Aufgaben
249
8 Lösungen
251
Kapitel 1
251
Kapitel 2
253
Kapitel 3
258
Kapitel 4
259
Kapitel 5
263
Kapitel 6
265
Kapitel 7
267
Literaturverzeichnis
272
Sachwortverzeichnis
274
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