Jürgen Koch, Martin Stämpfle
Mathematik für das Ingenieurstudium
Inhaltsverzeichnis
8
1 Grundlagen
20
1.1 Logik und Mengen
20
1.1.1 Aussagenlogik
20
1.1.2 Mengen
23
1.2 Zahlen
26
1.2.1 Natürliche Zahlen
26
1.2.2 Ganze Zahlen
27
1.2.3 Rationale Zahlen
28
1.2.4 Reelle Zahlen
29
1.2.5 Ordnung
31
1.2.6 Intervalle
32
1.2.7 Betrag und Signum
33
1.2.8 Summe und Produkt
36
1.3 Potenz und Wurzel
37
1.3.1 Potenzen
37
1.3.2 Potenzgesetze
38
1.3.3 Wurzeln
38
1.3.4 Binomischer Satz
39
1.4 Trigonometrie
41
1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
41
1.4.2 Winkel im Grad- und Bogenmaß
43
1.4.3 Sinus- und Kosinussatz
44
1.5 Gleichungen und Ungleichungen
45
1.5.1 Lineare Gleichungen
46
1.5.2 Potenzgleichungen
47
1.5.3 Quadratische Gleichungen
47
1.5.4 Wurzelgleichungen
49
1.5.5 Ungleichungen
50
1.6 Beweise
52
1.6.1 Direkter Beweis
53
1.6.2 Indirekter Beweis
53
1.6.3 Konstruktiver Beweis
54
1.6.4 Vollständige Induktion
55
1.7 Aufgaben
56
2 Lineare Gleichungssysteme
58
2.1 Einführung
58
2.2 Gauß-Algorithmus
60
2.2.1 Äquivalenzumformungen
61
2.2.2 Vorwärtselimination
62
2.2.3 Rückwärtseinsetzen
63
2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren
64
2.2.5 Rechenschema
65
2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme
67
2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung
67
2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen
68
2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen
69
2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme
70
2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
71
2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme
72
2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern
74
2.4 Numerische Verfahren
76
2.4.1 Jacobi-Iteration
76
2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration
77
2.5 Anwendungen
78
2.5.1 Produktion
78
2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik
79
2.6 Aufgaben
80
3 Vektoren
82
3.1 Der Begriff eines Vektors
82
3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten
84
3.2.1 Addition und Subtraktion
84
3.2.2 Skalare Multiplikation
86
3.2.3 Skalarprodukt
87
3.2.4 Vektorprodukt
91
3.2.5 Spatprodukt
94
3.2.6 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
96
3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung
98
3.3.1 Koordinatendarstellung
99
3.3.2 Addition und Subtraktion
100
3.3.3 Skalare Multiplikation
101
3.3.4 Skalarprodukt
101
3.3.5 Vektorprodukt
103
3.3.6 Spatprodukt
105
3.3.7 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
105
3.4 Punkte, Geraden und Ebenen
107
3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem
107
3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen
109
3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen
111
3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen
112
3.4.5 Abstände
114
3.4.6 Winkel
117
3.5 Anwendungen
119
3.5.1 Kraft
119
3.5.2 Arbeit
119
3.5.3 Drehmoment
120
3.6 Aufgaben
121
4 Matrizen
126
4.1 Der Begriff einer Matrix
126
4.2 Rechnen mit Matrizen
130
4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation
131
4.2.2 Multiplikation von Matrizen
132
4.3 Determinanten
138
4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix
138
4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix
140
4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix
144
4.4 Inverse Matrix
147
4.4.1 Invertierbare Matrizen
148
4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix
149
4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem
150
4.5 Lineare Abbildungen
150
4.5.1 Matrizen als Abbildungen
150
4.5.2 Kern, Bild und Rang
152
4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
153
4.7 Numerische Verfahren
158
4.8 Anwendungen
159
4.9 Aufgaben
161
5 Funktionen
164
5.1 Relationen und Funktionen
164
5.1.1 Relationen
164
5.1.2 Funktionen
165
5.2 Reelle Funktionen
167
5.2.1 Definitionsmenge, Zielmenge und Wertemenge
167
5.2.2 Wertetabelle und Schaubild
169
5.2.3 Explizite und implizite Darstellung
171
5.2.4 Abschnittsweise definierte Funktionen
172
5.2.5 Funktionsschar
174
5.2.6 Verkettung von Funktionen
175
5.3 Eigenschaften
178
5.3.1 Symmetrie
179
5.3.2 Periode
182
5.3.3 Monotonie
183
5.3.4 Beschränktheit
184
5.4 Das Prinzip der Umkehrfunktion
185
5.5 Anwendungen
188
5.5.1 Messwerte
188
5.5.2 Kennfelder
189
5.6 Aufgaben
190
6 Elementare Funktionen
192
6.1 Potenz- und Wurzelfunktionen
192
6.1.1 Potenzfunktionen
192
6.1.2 Wurzelfunktionen
194
6.2 Polynome und gebrochenrationale Funktionen
195
6.2.1 Polynome
195
6.2.2 Gebrochenrationale Funktionen
203
6.3 Sinus, Kosinus, Tangens und Arkusfunktionen
211
6.3.1 Definition am Einheitskreis
211
6.3.2 Eigenschaften
212
6.3.3 Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion
215
6.3.4 Arkusfunktionen
217
6.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen
222
6.4.1 Exponentialfunktionen
222
6.4.2 Die e-Funktion
223
6.4.3 Logarithmusfunktionen
225
6.5 Hyperbel- und Areafunktionen
228
6.5.1 Hyperbelfunktionen
228
6.5.2 Areafunktionen
230
6.6 Anwendungen
231
6.6.1 Freileitungen
231
6.6.2 Industrieroboter
232
6.7 Aufgaben
233
7 Folgen, Grenzwert und Stetigkeit
236
7.1 Folgen
236
7.1.1 Zahlenfolgen
236
7.1.2 Grenzwert einer Folge
240
7.2 Funktionsgrenzwerte
244
7.3 Stetigkeit
246
7.4 Asymptotisches Verhalten
251
7.5 Numerische Verfahren
255
7.5.1 Berechnung von Funktionswerten
256
7.5.2 Bisektionsverfahren
257
7.6 Anwendungen
259
7.7 Aufgaben
260
8 Differenzialrechnung
262
8.1 Steigung und Ableitungsfunktion
262
8.1.1 Tangente und Differenzierbarkeit
262
8.1.2 Differenzial
266
8.1.3 Ableitungsfunktion
266
8.1.4 Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
270
8.1.5 Höhere Ableitungen
271
8.2 Ableitungstechnik
272
8.2.1 Ableitungsregeln
272
8.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion
277
8.2.3 Logarithmisches Differenzieren
279
8.2.4 Implizites Differenzieren
280
8.2.5 Zusammenfassung
281
8.3 Regel von Bernoulli-de l'Hospital
282
8.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen
286
8.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel
286
8.4.2 Monotonie
288
8.4.3 Krümmung
289
8.4.4 Lokale Extrema
290
8.4.5 Wendepunkte
294
8.4.6 Globale Extrema
295
8.5 Numerische Verfahren
296
8.5.1 Numerische Differenziation
297
8.5.2 Newton-Verfahren
298
8.5.3 Sekantenverfahren
300
8.6 Anwendungen
301
8.6.1 Fehlerrechnung
301
8.6.2 Extremwertaufgaben
303
8.6.3 Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit
305
8.7 Aufgaben
306
9 Integralrechnung
312
9.1 Flächenproblem
312
9.1.1 Integralsymbol
312
9.1.2 Integral als Grenzwert von Summen
313
9.1.3 Bestimmtes Integral
315
9.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral
316
9.2.1 Integralfunktion
316
9.2.2 Stammfunktion
318
9.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion
320
9.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung
321
9.3 Integrationstechnik
323
9.3.1 Integrationsregeln
323
9.3.2 Integration durch Substitution
327
9.3.3 Partielle Integration
334
9.3.4 Gebrochenrationale Funktionen
336
9.3.5 Uneigentliche Integrale
339
9.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen
342
9.4.1 Flächeninhalte
342
9.4.2 Bogenlänge
344
9.4.3 Rotationskörper
346
9.5 Numerische Verfahren
350
9.5.1 Trapezregel
351
9.5.2 Romberg-Verfahren
353
9.6 Anwendungen
353
9.6.1 Effektivwert
353
9.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen
354
9.7 Aufgaben
358
10 Potenzreihen
362
10.1 Unendliche Reihen
363
10.2 Potenzreihen und Konvergenz
367
10.3 Taylor-Reihen
368
10.4 Eigenschaften
370
10.5 Numerische Verfahren
376
10.6 Anwendungen
377
10.7 Aufgaben
378
11 Kurven
380
11.1 Parameterdarstellung
380
11.2 Kegelschnitte
383
11.3 Tangente
389
11.4 Krümmung
391
11.5 Bogenlänge
394
11.6 Numerische Verfahren
396
11.7 Anwendungen
398
11.7.1 Mechanik
398
11.7.2 Straßenbau
399
11.8 Aufgaben
401
12 Funktionen mit mehreren Variablen
404
12.1 Definition und Darstellung
404
12.1.1 Definition einer Funktion mit mehreren Variablen
404
12.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen
405
12.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien
405
12.2 Grenzwert und Stetigkeit
409
12.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen
409
12.2.2 Stetigkeit
410
12.3 Differenziation
411
12.3.1 Partielle Ableitungen und partielle Differenzierbarkeit
411
12.3.2 Differenzierbarkeit und Tangentialebene
414
12.3.3 Gradient und Richtungsableitung
416
12.3.4 Differenzial
419
12.3.5 Höhere partielle Ableitungen
422
12.3.6 Extremwerte
424
12.4 Ausgleichsrechnung
426
12.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate
426
12.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen
427
12.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung
431
12.5 Vektorwertige Funktionen
433
12.6 Numerische Verfahren
434
12.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren
434
12.6.2 Gradientenverfahren
436
12.7 Anwendungen
438
12.8 Aufgaben
440
13 Komplexe Zahlen und Funktionen
442
13.1 Definition und Darstellung
442
13.1.1 Komplexe Zahlen
442
13.1.2 Gaußsche Zahlenebene
443
13.1.3 Polarkoordinaten
444
13.1.4 Exponentialform
446
13.2 Rechenregeln
448
13.2.1 Gleichheit
448
13.2.2 Addition und Subtraktion
448
13.2.3 Multiplikation und Division
449
13.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl
451
13.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl
451
13.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome
453
13.3.1 Potenzen
454
13.3.2 Wurzeln
454
13.3.3 Fundamentalsatz der Algebra
457
13.4 Komplexe Funktionen
459
13.4.1 Ortskurven
460
13.4.2 Harmonische Schwingungen
461
13.4.3 Transformationen
465
13.5 Anwendungen
469
13.6 Aufgaben
470
14 Gewöhnliche Differenzialgleichungen
472
14.1 Einführung
472
14.1.1 Grundbegriffe
472
14.1.2 Anfangswert- und Randwertproblem
475
14.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie
477
14.1.4 Differenzialgleichung und Funktionenschar
479
14.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung
480
14.2.1 Separation der Variablen
481
14.2.2 Lineare Substitution
483
14.2.3 Ähnlichkeitsdifferenzialgleichungen
484
14.3 Lineare Differenzialgleichungen
485
14.3.1 Homogene und inhomogene lineare Differenzialgleichungen
485
14.3.2 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung
488
14.3.3 Allgemeine Eigenschaften
492
14.3.4 Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
495
14.4 Schwingungsdifferenzialgleichungen
508
14.4.1 Allgemeine Form
508
14.4.2 Freie Schwingung
509
14.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung
511
14.4.4 Frequenzgänge
515
14.5 Differenzialgleichungssysteme
517
14.5.1 Eliminationsverfahren
517
14.5.2 Zustandsvariablen
519
14.5.3 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten
521
14.5.4 Lineare Differenzialgleichung als System
527
14.5.5 Stabilität
529
14.6 Numerische Verfahren
533
14.6.1 Polygonzugverfahren von Euler
533
14.6.2 Euler-Verfahren für Differenzialgleichungssysteme
535
14.7 Anwendungen
536
14.7.1 Temperaturverlauf
536
14.7.2 Radioaktiver Zerfall
536
14.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand
537
14.7.4 Feder-Masse-Schwinger
538
14.7.5 Pendel
539
14.7.6 Wechselstromkreise
539
14.8 Aufgaben
542
15 Differenzengleichungen
546
15.1 Lineare Differenzengleichungen
546
15.1.1 Differenzengleichungen erster Ordnung
548
15.1.2 Differenzengleichungen höherer Ordnung
550
15.2 Systeme linearer Differenzengleichungen
554
15.2.1 Homogene Systeme erster Ordnung
555
15.2.2 Inhomogene Systeme erster Ordnung
557
15.2.3 Asymptotisches Verhalten
558
15.3 Anwendungen
560
15.4 Aufgaben
561
16 Fourier-Reihen
562
16.1 Fourier-Analyse
562
16.1.1 Periodische Funktionen
562
16.1.2 Trigonometrische Polynome
564
16.1.3 Fourier-Reihe
566
16.1.4 Satz von Fourier
567
16.1.5 Gibbssches Phänomen
570
16.2 Komplexe Darstellung
572
16.2.1 Komplexe Fourier-Reihe
572
16.2.2 Berechnung komplexer Fourier-Koeffizienten
574
16.2.3 Spektrum
576
16.2.4 Minimaleigenschaft
579
16.3 Eigenschaften
581
16.3.1 Symmetrie
581
16.3.2 Integrationsintervall
582
16.3.3 Mittelwert
583
16.3.4 Linearität
583
16.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
585
16.3.6 Zeitverschiebung
586
16.4 Aufgaben
588
17 Verallgemeinerte Funktionen
590
17.1 Heaviside-Funktion
590
17.2 Dirac-Distribution
592
17.3 Verallgemeinerte Ableitung
594
17.4 Faltung
596
17.5 Anwendungen
600
17.6 Aufgaben
601
18 Fourier-Transformation
602
18.1 Integraltransformation
602
18.1.1 Definition
602
18.1.2 Darstellung mit Real- und Imaginärteil
604
18.1.3 Sinus- und Kosinustransformation
606
18.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen
607
18.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase
609
18.2 Eigenschaften
610
18.2.1 Linearität
611
18.2.2 Zeitverschiebung
612
18.2.3 Amplitudenmodulation
614
18.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
616
18.3 Inverse Fourier-Transformation
617
18.3.1 Definition
617
18.3.2 Vertauschungssatz
619
18.3.3 Linearität
620
18.4 Differenziation, Integration und Faltung
620
18.4.1 Differenziation im Zeitbereich
620
18.4.2 Differenziation im Frequenzbereich
622
18.4.3 Multiplikationssatz
622
18.4.4 Integration
623
18.4.5 Faltung
624
18.5 Periodische Funktionen
624
18.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe
625
18.5.2 Koeffizienten der Fourier-Reihe
625
18.5.3 Grenzwertbetrachtung
627
18.6 Anwendungen
629
18.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme
629
18.6.2 Tiefpassfilter
631
18.7 Aufgaben
633
19 Laplace-Transformation
636
19.1 Bildbereich
636
19.1.1 Definition
636
19.1.2 Laplace- und Fourier-Transformation
639
19.2 Eigenschaften
640
19.2.1 Linearität
640
19.2.2 Ähnlichkeit
641
19.2.3 Zeitverschiebung
642
19.2.4 Dämpfung
643
19.3 Differenziation, Integration und Faltung
644
19.3.1 Differenziation
644
19.3.2 Integration
646
19.3.3 Faltung
647
19.3.4 Grenzwerte
648
19.4 Transformation periodischer Funktionen
648
19.5 Rücktransformation
650
19.6 Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen
651
19.7 Anwendungen
657
19.8 Aufgaben
660
20 z-Transformation
662
20.1 Transformation diskreter Signale
662
20.1.1 Definition
662
20.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation
664
20.2 Eigenschaften
665
20.2.1 Linearität
665
20.2.2 Dämpfung
666
20.2.3 Verschiebung
666
20.2.4 Vorwärtsdifferenzen
667
20.2.5 Multiplikationssatz
668
20.2.6 Diskrete Faltung
669
20.3 Lösung von Differenzengleichungen
671
20.4 Anwendungen
674
20.5 Aufgaben
676
21 Elementare Zahlentheorie
678
21.1 Teilbarkeit
678
21.2 Kongruente Zahlen
682
21.3 Primzahlen
687
21.4 Aufgaben
691
A Anhang
692
A.1 Bedeutende Mathematiker
692
A.2 Trigonometrische Funktionen
709
A.3 Ableitungen
710
A.4 Ableitungsregeln
710
A.5 Integrale
711
A.6 Integralregeln
712
A.7 Potenzreihen
712
A.8 Fourier-Reihen
713
A.9 Korrespondenzen der Fourier-Transformation
715
A.10 Eigenschaften der Fourier-Transformation
717
A.11 Korrespondenzen der Laplace-Transformation
718
A.12 Eigenschaften der Laplace-Transformation
719
A.13 Korrespondenzen der z-Transformationen
720
A.14 Eigenschaften der z-Transformationen
720
A.15 Griechisches Alphabet
721
Literaturverzeichnis
722
Sachwortverzeichnis
724
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