Jürgen Koch, Martin Stämpfle
Mathematik für das Ingenieurstudium
Vorwort
6
Inhaltsverzeichnis
8
1 Grundlagen
20
1.1 Logik und Mengen
20
1.1.1 Aussagenlogik
20
1.1.2 Mengen
23
1.2 Zahlen
26
1.2.1 Natürliche Zahlen
26
1.2.2 Ganze Zahlen
27
1.2.3 Rationale Zahlen
28
1.2.4 Reelle Zahlen
29
1.2.5 Ordnung
31
1.2.6 Intervalle
32
1.2.7 Betrag und Signum
33
1.2.8 Summe und Produkt
36
1.3 Potenz und Wurzel
37
1.3.1 Potenzen
37
1.3.2 Potenzgesetze
38
1.3.3 Wurzeln
38
1.3.4 Binomischer Satz
39
1.4 Trigonometrie
41
1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
41
1.4.2 Winkel im Grad- und Bogenmaß
43
1.4.3 Sinus- und Kosinussatz
44
1.5 Gleichungen und Ungleichungen
45
1.5.1 Lineare Gleichungen
46
1.5.2 Potenzgleichungen
47
1.5.3 Quadratische Gleichungen
47
1.5.4 Wurzelgleichungen
49
1.5.5 Ungleichungen
50
1.6 Beweise
52
1.6.1 Direkter Beweis
53
1.6.2 Indirekter Beweis
53
1.6.3 Konstruktiver Beweis
54
1.6.4 Vollständige Induktion
55
1.7 Aufgaben
57
2 Lineare Gleichungssysteme
62
2.1 Einführung
62
2.2 Gauß-Algorithmus
64
2.2.1 Äquivalenzumformungen
65
2.2.2 Vorwärtselimination
66
2.2.3 Rückwärtseinsetzen
67
2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren
68
2.2.5 Rechenschema
69
2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme
71
2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung
71
2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen
72
2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen
73
2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme
74
2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
75
2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme
76
2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern
78
2.4 Numerische Verfahren
80
2.4.1 Jacobi-Iteration
80
2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration
81
2.5 Anwendungen
82
2.5.1 Produktion
82
2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik
83
2.6 Aufgaben
84
3 Vektoren
86
3.1 Der Begriff eines Vektors
86
3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten
88
3.2.1 Addition und Subtraktion
88
3.2.2 Skalare Multiplikation
90
3.2.3 Skalarprodukt
91
3.2.4 Vektorprodukt
95
3.2.5 Spatprodukt
97
3.2.6 Lineare Unabhängigkeit
99
3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung
103
3.3.1 Koordinatendarstellung
104
3.3.2 Addition und Subtraktion
105
3.3.3 Skalare Multiplikation
106
3.3.4 Skalarprodukt
106
3.3.5 Vektorprodukt
108
3.3.6 Spatprodukt
110
3.3.7 Lineare Unabhängigkeit
110
3.4 Punkte, Geraden und Ebenen
113
3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem
113
3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen
115
3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen
117
3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen
118
3.4.5 Abstände
120
3.4.6 Winkel
123
3.5 Anwendungen
125
3.5.1 Kraft
125
3.5.2 Arbeit
125
3.5.3 Drehmoment
126
3.6 Aufgaben
127
4 Matrizen
132
4.1 Der Begriff einer Matrix
132
4.2 Rechnen mit Matrizen
136
4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation
137
4.2.2 Multiplikation von Matrizen
138
4.3 Determinanten
144
4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix
144
4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix
146
4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix
150
4.4 Inverse Matrix
153
4.4.1 Invertierbare Matrizen
154
4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix
155
4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem
156
4.4.4 Orthogonale Matrizen
156
4.5 Lineare Abbildungen
157
4.5.1 Matrizen als Abbildungen
157
4.5.2 Koordinatentransformation
158
4.5.3 Kern, Bild und Rang
160
4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
161
4.7 Numerische Verfahren
167
4.8 Anwendungen
168
4.9 Aufgaben
170
5 Funktionen
174
5.1 Relationen und Funktionen
174
5.1.1 Relationen
174
5.1.2 Funktionen
175
5.2 Reelle Funktionen
177
5.2.1 Definitionsmenge, Zielmenge und Wertemenge
177
5.2.2 Wertetabelle und Schaubild
179
5.2.3 Explizite und implizite Darstellung
181
5.2.4 Abschnittsweise definierte Funktionen
182
5.2.5 Funktionsschar
184
5.2.6 Verkettung von Funktionen
185
5.3 Eigenschaften
188
5.3.1 Symmetrie
189
5.3.2 Periode
192
5.3.3 Monotonie
193
5.3.4 Beschränktheit
194
5.4 Das Prinzip der Umkehrfunktion
195
5.5 Anwendungen
198
5.5.1 Messwerte
198
5.5.2 Kennfelder
199
5.6 Aufgaben
200
6 Elementare Funktionen
202
6.1 Potenz- und Wurzelfunktionen
202
6.1.1 Potenzfunktionen
202
6.1.2 Wurzelfunktionen
204
6.2 Polynome und gebrochenrationale Funktionen
205
6.2.1 Polynome
205
6.2.2 Gebrochenrationale Funktionen
213
6.3 Sinus, Kosinus, Tangens und Arkusfunktionen
221
6.3.1 Definition am Einheitskreis
221
6.3.2 Eigenschaften
222
6.3.3 Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion
225
6.3.4 Arkusfunktionen
227
6.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen
232
6.4.1 Exponentialfunktionen
232
6.4.2 Die e-Funktion
233
6.4.3 Logarithmusfunktionen
235
6.5 Hyperbel- und Areafunktionen
238
6.5.1 Hyperbelfunktionen
238
6.5.2 Areafunktionen
240
6.6 Anwendungen
241
6.6.1 Freileitungen
241
6.6.2 Industrieroboter
242
6.7 Aufgaben
243
7 Folgen, Grenzwerte und Stetigkeit
246
7.1 Folgen
246
7.1.1 Zahlenfolgen
246
7.1.2 Grenzwert einer Folge
250
7.2 Funktionsgrenzwerte
254
7.3 Stetigkeit
256
7.4 Asymptotisches Verhalten
261
7.5 Numerische Verfahren
265
7.5.1 Berechnung von Funktionswerten
266
7.5.2 Bisektionsverfahren
267
7.6 Anwendungen
269
7.7 Aufgaben
270
8 Differenzialrechnung
272
8.1 Steigung und Ableitungsfunktion
272
8.1.1 Tangente und Differenzierbarkeit
272
8.1.2 Differenzial
276
8.1.3 Ableitungsfunktion
276
8.1.4 Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
280
8.1.5 Höhere Ableitungen
281
8.2 Ableitungstechnik
282
8.2.1 Ableitungsregeln
282
8.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion
287
8.2.3 Logarithmisches Differenzieren
289
8.2.4 Implizites Differenzieren
290
8.2.5 Zusammenfassung
291
8.3 Regel von Bernoulli-de l'Hospital
292
8.4 Geometrische Bedeutung der 8.4 Ableitungen
296
8.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel
296
8.4.2 Monotonie
298
8.4.3 Krümmung
299
8.4.4 Lokale Extrema
300
8.4.5 Wendepunkte
304
8.4.6 Globale Extrema
305
8.5 Numerische Verfahren
306
8.5.1 Numerische Differenziation
307
8.5.2 Newton-Verfahren
308
8.5.3 Sekantenverfahren
310
8.6 Anwendungen
311
8.6.1 Fehlerrechnung
311
8.6.2 Extremwertaufgaben
313
8.6.3 Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit
315
8.7 Aufgaben
316
9 Integralrechnung
322
9.1 Flächenproblem
322
9.1.1 Integralsymbol
322
9.1.2 Integral als Grenzwert von Summen
323
9.1.3 Bestimmtes Integral
325
9.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral
326
9.2.1 Integralfunktion
326
9.2.2 Stammfunktion
328
9.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion
330
9.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung
331
9.3 Integrationstechnik
333
9.3.1 Integrationsregeln
333
9.3.2 Integration durch Substitution
337
9.3.3 Partielle Integration
344
9.3.4 Gebrochenrationale Funktionen
346
9.3.5 Uneigentliche Integrale
349
9.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen
352
9.4.1 Flächeninhalte
352
9.4.2 Bogenlänge
354
9.4.3 Rotationskörper
356
9.5 Numerische Verfahren
360
9.5.1 Trapezregel
361
9.5.2 Romberg-Verfahren
363
9.6 Anwendungen
363
9.6.1 Effektivwert
363
9.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen
364
9.7 Aufgaben
368
10 Potenzreihen
372
10.1 Unendliche Reihen
373
10.2 Potenzreihen und Konvergenz
377
10.3 Taylor-Reihen
378
10.4 Eigenschaften
380
10.5 Numerische Verfahren
386
10.6 Anwendungen
387
10.7 Aufgaben
388
11 Kurven
390
11.1 Parameterdarstellung
390
11.2 Kegelschnitte
393
11.3 Tangente
399
11.4 Krümmung
401
11.5 Bogenlänge
404
11.6 Numerische Verfahren
406
11.7 Anwendungen
408
11.7.1 Mechanik
408
11.7.2 Straßenbau
409
11.8 Aufgaben
411
12 Funktionen mit mehreren Variablen
414
12.1 Definition und Darstellung
414
12.1.1 Definition einer Funktion mit mehreren Variablen
414
12.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen
415
12.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien
415
12.2 Grenzwert und Stetigkeit
419
12.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen
419
12.2.2 Stetigkeit
420
12.3 Differenziation
421
12.3.1 Partielle Ableitungen und partielle Differenzierbarkeit
421
12.3.2 Differenzierbarkeit und Tangentialebene
424
12.3.3 Gradient und Richtungsableitung
426
12.3.4 Differenzial
429
12.3.5 Höhere partielle Ableitungen
432
12.3.6 Extremwerte
434
12.4 Ausgleichsrechnung
436
12.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate
436
12.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen
437
12.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung
441
12.5 Vektorwertige Funktionen
443
12.6 Numerische Verfahren
444
12.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren
444
12.6.2 Gradientenverfahren
446
12.7 Anwendungen
448
12.8 Aufgaben
450
13 Komplexe Zahlen und Funktionen
452
13.1 Definition und Darstellung
452
13.1.1 Komplexe Zahlen
452
13.1.2 Gaußsche Zahlenebene
453
13.1.3 Polarkoordinaten
454
13.1.4 Exponentialform
456
13.2 Rechenregeln
458
13.2.1 Gleichheit
458
13.2.2 Addition und Subtraktion
458
13.2.3 Multiplikation und Division
459
13.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl
461
13.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl
461
13.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome
463
13.3.1 Potenzen
464
13.3.2 Wurzeln
464
13.3.3 Fundamentalsatz der Algebra
467
13.4 Komplexe Funktionen
469
13.4.1 Ortskurven
470
13.4.2 Harmonische Schwingungen
471
13.4.3 Transformationen
475
13.5 Anwendungen
479
13.6 Aufgaben
480
14 Gewöhnliche Differenzialgleichungen
482
14.1 Einführung
482
14.1.1 Grundbegriffe
482
14.1.2 Anfangswert- und Randwertproblem
485
14.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie
487
14.1.4 Differenzialgleichung und Funktionenschar
489
14.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung
490
14.2.1 Separation der Variablen
491
14.2.2 Lineare Substitution
493
14.2.3 Ähnlichkeitsdifferenzialgleichungen
494
14.3 Lineare Differenzialgleichungen
495
14.3.1 Homogene und inhomogene lineare Differenzialgleichungen
495
14.3.2 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung
498
14.3.3 Allgemeine Eigenschaften
502
14.3.4 Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
505
14.4 Schwingungsdifferenzialgleichungen
518
14.4.1 Allgemeine Form
518
14.4.2 Freie Schwingung
519
14.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung
521
14.4.4 Frequenzgänge
525
14.5 Differenzialgleichungssysteme
527
14.5.1 Eliminationsverfahren
527
14.5.2 Zustandsvariablen
529
14.5.3 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten
531
14.5.4 Lineare Differenzialgleichung als System
537
14.5.5 Stabilität
539
14.6 Numerische Verfahren
543
14.6.1 Polygonzugverfahren von Euler
543
14.6.2 Euler-Verfahren für Differenzialgleichungssysteme
545
14.7 Anwendungen
546
14.7.1 Temperaturverlauf
546
14.7.2 Radioaktiver Zerfall
546
14.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand
547
14.7.4 Feder-Masse-Schwinger
548
14.7.5 Pendel
549
14.7.6 Wechselstromkreise
549
14.8 Aufgaben
552
15 Differenzengleichungen
558
15.1 Lineare Differenzengleichungen
558
15.1.1 Differenzengleichungen erster Ordnung
560
15.1.2 Differenzengleichungen höherer Ordnung
562
15.2 Systeme linearer Differenzengleichungen
566
15.2.1 Homogene Systeme erster Ordnung
567
15.2.2 Inhomogene Systeme erster Ordnung
569
15.2.3 Asymptotisches Verhalten
570
15.3 Anwendungen
572
15.4 Aufgaben
573
16 Fourier-Reihen
574
16.1 Fourier-Analyse
574
16.1.1 Periodische Funktionen
574
16.1.2 Trigonometrische Polynome
576
16.1.3 Fourier-Reihe
578
16.1.4 Satz von Fourier
579
16.1.5 Gibbssches Phänomen
582
16.2 Komplexe Darstellung
584
16.2.1 Komplexe Fourier-Reihe
584
16.2.2 Berechnung komplexer Fourier-Koeffizienten
586
16.2.3 Spektrum
588
16.2.4 Minimaleigenschaft
591
16.3 Eigenschaften
593
16.3.1 Symmetrie
593
16.3.2 Integrationsintervall
594
16.3.3 Mittelwert
595
16.3.4 Linearität
595
16.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
597
16.3.6 Zeitverschiebung
598
16.4 Aufgaben
600
17 Verallgemeinerte Funktionen
602
17.1 Heaviside-Funktion
602
17.2 Dirac-Distribution
604
17.3 Verallgemeinerte Ableitung
606
17.4 Faltung
608
17.5 Anwendungen
612
17.6 Aufgaben
613
18 Fourier-Transformation
614
18.1 Integraltransformation
614
18.1.1 Definition
614
18.1.2 Darstellung mit Real- und Imaginärteil
616
18.1.3 Sinus- und Kosinustransformation
618
18.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen
619
18.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase
621
18.2 Eigenschaften
622
18.2.1 Linearität
623
18.2.2 Zeitverschiebung
624
18.2.3 Amplitudenmodulation
626
18.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
628
18.3 Inverse Fourier-Transformation
629
18.3.1 Definition
629
18.3.2 Vertauschungssatz
631
18.3.3 Linearität
632
18.4 Differenziation, Integration und Faltung
632
18.4.1 Differenziation im Zeitbereich
632
18.4.2 Differenziation im Frequenzbereich
634
18.4.3 Multiplikationssatz
634
18.4.4 Integration
635
18.4.5 Faltung
636
18.5 Periodische Funktionen
636
18.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe
637
18.5.2 Koeffizienten der Fourier-Reihe
637
18.5.3 Grenzwertbetrachtung
639
18.6 Anwendungen
641
18.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme
641
18.6.2 Tiefpassfilter
643
18.7 Aufgaben
645
19 Laplace-Transformation
648
19.1 Bildbereich
648
19.1.1 Definition
648
19.1.2 Laplace- und Fourier-Transformation
651
19.2 Eigenschaften
652
19.2.1 Linearität
652
19.2.2 Ähnlichkeit
653
19.2.3 Zeitverschiebung
654
19.2.4 Dämpfung
655
19.3 Differenziation, Integration und Faltung
656
19.3.1 Differenziation
656
19.3.2 Integration
658
19.3.3 Faltung
659
19.3.4 Grenzwerte
660
19.4 Transformation periodischer Funktionen
660
19.5 Rücktransformation
662
19.6 Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen
663
19.7 Anwendungen
669
19.8 Aufgaben
672
20 z-Transformation
674
20.1 Transformation diskreter Signale
674
20.1.1 Definition
674
20.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation
676
20.2 Eigenschaften
677
20.2.1 Linearität
677
20.2.2 Dämpfung
677
20.2.3 Verschiebung
678
20.2.4 Vorwärtsdifferenzen
679
20.2.5 Multiplikationssatz
680
20.2.6 Diskrete Faltung
681
20.3 Lösung von Differenzengleichungen
683
20.4 Anwendungen
686
20.5 Aufgaben
688
21 Elementare Zahlentheorie
690
21.1 Teilbarkeit
690
21.2 Kongruente Zahlen
694
21.3 Primzahlen
699
21.4 Anwendungen
703
21.4.1 International Bank Account Number (IBAN)
703
21.4.2 Linearer Kongruenzgenerator für Pseudozufallszahlen
704
21.5 Aufgaben
705
A Anhang
706
A.1 Bedeutende Mathematiker
706
A.2 Trigonometrische Funktionen
725
A.3 Ableitungen
726
A.4 Ableitungsregeln
726
A.5 Integrale
727
A.6 Integralregeln
728
A.7 Potenzreihen
728
A.8 Fourier-Reihen
729
A.9 Korrespondenzen der Fourier-Transformation
731
A.10 Eigenschaften der Fourier-Transformation
733
A.11 Korrespondenzen der Laplace-Transformation
734
A.12 Eigenschaften der Laplace-Transformation
735
A.13 Korrespondenzen der z-Transformationen
736
A.14 Eigenschaften der z-Transformationen
736
A.15 Griechisches Alphabet
737
Literaturverzeichnis
738
Sachwortverzeichnis
740
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