Hans-Jochen Bartsch, Michael Sachs
Kleine Formelsammlung Mathematik
Vorwort
6
Inhalt
8
1 Logik, Arithmetik, Algebra
14
1.1 Mathematische Logik
14
1.1.1 Ein- und zweistellige Boolesche Funktionen
14
1.1.2 Rechengesetze (Boolesche Algebra)
16
1.2 Mengen
16
1.2.1 Grundlagen
16
1.2.2 Mengenoperationen
17
1.2.3 Rechenregeln für Mengen
18
1.2.4 Relationen
19
1.2.5 Zahlensysteme
19
1.3 Menge der reellen Zahlen
20
1.3.1 Standard-Zahlenmengen
20
1.3.2 Grundoperationen für reelle Zahlen
22
1.3.3 Potenzen, Wurzeln
25
1.3.4 Logarithmen
26
1.3.5 Binomischer Satz
27
1.4 Menge der komplexen Zahlen
29
1.4.1 Grundlagen
29
1.4.2 Darstellungsformen komplexer Zahlen
30
1.4.3 Grundrechenarten mit komplexen Zahlen
31
1.4.4 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
32
1.5 Kombinatorik
32
1.6 Folgen
34
1.6.1 Grundlagen
34
1.6.2 Schranken, Grenzwert und Monotonie einer Folge
34
1.6.3 Arithmetische und geometrische Folgen
35
1.6.4 Zins-, Zinseszins-, Renten- und Tilgungsrechnung
37
1.7 Gleichungen und Ungleichungen, Algebra
39
1.7.1 Grundlagen
39
1.7.2 Lineare Gleichungen
40
1.7.3 Nichtlineare Gleichungen, Polynome
41
1.7.4 Wurzelgleichungen, transzendente Gleichungen
44
1.7.5 Numerische Verfahren für Gleichungen
44
2 Lineare Algebra
47
2.1 Vektoren
47
2.1.1 Grundbegriffe
47
2.1.2 Skalarprodukt im Rn
51
2.1.3 Vektoren im R3
53
2.2 Matrizen
56
2.2.1 Grundlagen
56
2.2.2 Matrizengesetze
57
2.2.3 n-reihige quadratische Matrizen
58
2.2.4 Rang, Normen
61
2.2.5 Determinanten
62
2.2.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
64
2.3 Lineare Gleichungssysteme
66
2.3.1 Bezeichnungen
66
2.3.2 Lösbarkeitsbedingungen
67
2.3.3 Lösungsverfahren
68
2.4 Lineare Abbildungen
70
2.4.1 Grundlagen
70
2.4.2 Spezielle lineare Abbildungen in der Ebene
71
2.5 Koordinatensysteme
72
2.5.1 Kartesische Koordinaten
72
2.5.2 Zylinderkoordinaten
73
2.5.3 Kugelkoordinaten
73
2.6 Koordinatentransformationen
74
2.6.1 Koordinatentransformationen in der Ebene
75
2.6.2 Koordinatentransformationen im Raum
76
3 Elementare und analytische Geometrie
78
3.1 Planimetrie, ebene Trigonometrie
78
3.1.1 Winkel
78
3.1.2 Teilungen, Ähnlichkeit, Kongruenz
80
3.1.3 Dreiecke
81
3.1.4 Vierecke
83
3.1.5 Vielecke
85
3.1.6 Kreis
86
3.2 Geometrische Körper (Stereometrie)
88
3.2.1 Ebenflächig begrenzte Körper (Polyeder, Vielflache)
89
3.2.2 Krummflächig begrenzte Körper
90
3.3 Punkt, Gerade, Ebene
93
3.3.1 Punkt, Strecke
93
3.3.2 Gerade in der Ebene
94
3.3.3 Gerade im Raum
96
3.3.4 Mehrere Geraden
98
3.3.5 Ebene
100
3.3.6 Flächeninhalt, Volumen
103
3.4 Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte)
103
3.4.1 Gemeinsame Charakterisierungen aller Kegelschnitte
103
3.4.2 Kreis
105
3.4.3 Ellipse
106
3.4.4 Parabel
110
3.4.5 Hyperbel
112
3.5 Flächen 2. Ordnung
115
3.6 Hauptachsentransformation
120
4 Funktionen
122
4.1 Grundlagen
122
4.2 Grenzwerte, unbestimmte Ausdrücke
125
4.2.1 Grenzwerte einer Funktion
125
4.2.2 Unbestimmte Ausdrücke
126
4.3 Eigenschaften reeller Funktionen
127
4.4 Rationale Funktionen
128
4.4.1 Ganzrationale Funktionen (Polynome)
128
4.4.2 Interpolation
130
4.4.3 Gebrochenrationale Funktionen
131
4.5 Nichtrationale Funktionen
132
4.5.1 Elementare Funktionen
132
4.5.2 Wurzelfunktionen
133
4.5.3 Exponentialfunktionen
134
4.5.4 Logarithmusfunktionen
134
4.5.5 Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen
135
4.5.6 Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen)
141
4.5.7 Hyperbelfunktionen
142
4.5.8 Areafunktionen
145
4.6 Ausgewählte ebene Kurven
147
4.7 Kurvendiskussion
149
5 Analysis
150
5.1 Differenzialrechnung
150
5.1.1 Funktionen mit einer unabhängigen Variablen
150
5.1.2 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen
155
5.1.3 Extrema und Wendepunkte
157
5.1.4 Differenzialgeometrie ebener Kurven
160
5.1.5 Differenzialgeometrie von Raumkurven und Raumflächen
164
5.2 Integralrechnung
168
5.2.1 Unbestimmtes und bestimmtes Integral
168
5.2.2 Grundintegrale und Integrationsregeln
171
5.2.3 Integrationstechniken
173
5.2.4 Numerische Integration
176
5.2.5 Gebietsintegrale, Mehrfachintegrale
178
5.2.6 Anwendungen der Integralrechnung
181
5.3 Vektoranalysis
188
5.3.1 Vektorwertige Funktionen, Felder
188
5.3.2 Gradient eines skalaren Feldes
191
5.3.3 Divergenz eines Vektorfeldes
191
5.3.4 Laplace-Operator eines skalaren Feldes
192
5.3.5 Rotation eines Vektorfeldes
193
5.3.6 Kurvenintegrale
194
5.3.7 Oberflächenintegrale
197
5.3.8 Integralsätze von Green, Gauss und Stokes
200
6 Gewöhnliche Differenzialgleichungen
202
6.1 Grundlagen
202
6.2 Ausgewählte Differenzialgleichungen 1. Ordnung
204
6.3 Ausgewählte Differenzialgleichungen 2. Ordnung
208
6.3.1 Homogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung
208
6.3.2 Inhomogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung
211
6.4 Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung
213
6.5 Numerische Verfahren für Differenzialgleichungen 1. Ordnung
215
6.5.1 Polygonzugverfahren von Euler-Cauchy
215
6.5.2 Verfahren 4. Ordnung von Runge-Kutta
216
6.6 Lineare Differenzialgleichungssysteme
217
7 Reihen, Integral-Transformationen
219
7.1 Unendliche Reihen
219
7.1.1 Zahlenreihen
219
7.1.2 Konvergenzkriterien für Reihen
221
7.1.3 Potenzreihen
223
7.1.4 Taylor-Formel und Taylor-Reihen
224
7.1.5 Zusammenstellung fertig entwickelter Taylor-Reihen
226
7.1.6 Fourier-Reihen
229
7.2 Fourier-Transformation
232
7.3 Laplace-Transformation
235
7.3.1 Rechenregeln der Laplace-Transformation
236
7.3.2 Lösung von gewöhnlichen linearen Differenzialgleichungen
238
7.3.3 Korrespondenztabelle der Laplace-Transformation
239
8 Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung
242
8.1 Beschreibende (deskriptive) Statistik
242
8.1.1 Grundbegriffe, Darstellungsarten
242
8.1.2 Lagemaße (Mittelwerte)
244
8.1.3 Streuungsmaße
246
8.1.4 Korrelationsmaße
247
8.1.5 Regressionsrechnung
248
8.1.6 Fehlerrechnung
250
8.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung
251
8.2.1 Grundbegriffe
251
8.2.2 Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung
253
8.2.3 Zufällige Variable
255
8.2.4 Diskrete zufällige Variable
259
8.2.5 Stetige zufällige Variable
261
8.3 Schließende (induktive) Statistik
265
8.3.1 Schätzfunktionen
265
8.3.2 Intervallschätzung
266
8.3.3 Signifikanztests
267
8.4 Tabellen
270
8.4.1 Verteilungsfunktion (x) der Standard-Normalverteilung
270
8.4.2 Quantile der t-Verteilung (Student-Verteilung)
271
8.4.3 Quantile der 2-Verteilung
272
9 Integraltabelle
273
Sachwortverzeichnis
278
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