Anwendungsorientierte Mathematik für Techniker

Stephan Bucher

Anwendungsorientierte Mathematik für Techniker

2015

265 Seiten

Format: PDF

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ISBN: 9783446441798

 

Vorwort

6

Inhalt

8

1 Grundlagen

16

1.1 Die Zahlen

16

1.2 Arithmetische Grundoperationen

17

1.3 Rechenregeln

17

1.3.1 Reihenfolge der Operanden

17

1.3.2 Vorzeichen

17

1.3.3 Reihenfolge der Operationen

18

1.3.4 Addition und Subtraktion von Klammerausdrücken

19

1.3.5 Multiplikation von Klammerausdrücken

19

1.4 Bruchrechnen

19

1.4.1 Begriffe

19

1.4.2 Addition von Brüchen; das kleinste gemeinsame Vielfache

20

1.4.3 Kürzen

21

1.4.4 Multiplikation von Brüchen

22

1.4.5 Division von Brüchen

22

1.4.6 Umwandlung von Dezimalbrüchen in Brüche

23

1.5 Potenzen und Wurzeln

23

1.5.1 Potenzen

23

1.5.2 Quadratische binomische Ausdrücke

24

1.5.3 Höhere Potenzen binomischer Ausdrücke

25

1.5.4 Wurzeln

26

1.6 Logarithmen

27

1.6.1 Begriff

27

1.6.2 Rechenregeln

28

1.6.3 Wechsel der Basis

28

1.6.4 Die Bedeutung der Logarithmen

29

1.7 Zahlensysteme

30

1.8 Übungsaufgaben

31

1.8.1 Zu Abschnitt 1.3

31

1.8.2 Zu Abschnitt 1.4

32

1.8.3 Zu Abschnitt 1.5

33

1.8.4 Zu Abschnitt 1.6

34

2 Gleichungen

35

2.1 Begriffe

35

2.2 Das Umformen von Gleichungen

36

2.2.1 Begriff

36

2.2.2 Äquivalenzumformungen

36

2.2.3 Nichtäquivalente Umformungen

36

2.3 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten

37

2.3.1 Lösungsverfahren

37

2.3.2 Angewandte Aufgaben

37

2.4 Systeme linearer Gleichungen mit ­mehreren Unbekannten

38

2.4.1 Grundlagen

38

2.4.2 Lösung durch Substitution

39

2.4.3 Lösung mit Matrizenrechnung

39

2.4.4 Lösung eines Gleichungssystems mit der Determinantenmethode

41

2.5 Quadratische Gleichungen

43

2.5.1 Allgemeine Lösungsformel

43

2.5.2 Der Satz von Vieta

44

2.6 Algebraische Gleichungen höheren Grades

45

2.6.1 Lösungen

45

2.6.2 Lösung mit dem TI-30X Pro

45

2.7 Nichtlineare Gleichungssysteme mit 2 Unbekannten

46

2.7.1 Lösungsverfahren

46

2.7.2 Anwendungsbeispiel: Koordinatenbestimmung

46

2.8 Wurzelgleichungen

48

2.9 Exponentialgleichungen

50

2.9.1 Lösungsmethodik

50

2.9.2 Zins- und Investitionsrechnung

52

2.10 „Unlösbare“ Gleichungen: Der numerische Gleichungslöser des TI-30X Pro

54

2.11 Ungleichungen

55

2.11.1 Definition

55

2.11.2 Das Lösen von Ungleichungen

56

2.11.3 Lineare Ungleichungen

56

2.11.4 Nichtlineare Ungleichungen

57

2.12 Übungsaufgaben

60

2.12.1 Zu Abschnitt 2.2

60

2.12.2 Zu Abschnitt 2.3

60

2.12.3 Zu Abschnitt 2.4

64

2.12.4 Zu Abschnitt 2.5

67

2.12.5 Zu Abschnitt 2.6

68

2.12.6 Zu Abschnitt 2.7

69

2.12.7 Zu Abschnitt 2.8

70

2.12.8 Zu Abschnitt 2.9

70

2.12.9 Zu Abschnitt 2.10

71

3 Trigonometrie

72

3.1 Winkel

72

3.2 Die Winkelfunktionen

73

3.2.1 Definition am rechtwinkligen Dreieck

73

3.2.2 Umrechnungen, Darstellung am Einheitskreis

74

3.3 Berechnungen am Dreieck

76

3.3.1 Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck

76

3.3.2 Dreiecksfläche

77

3.3.3 Der Sinussatz

77

3.3.4 Der Kosinussatz

78

3.4 Weitere Formeln

79

3.4.1 Additionstheoreme

79

3.4.2 Winkelfunktionen für doppelte und halbe Winkel

80

3.4.3 Halbwinkelformeln

81

3.5 Das Lösen goniometrischer Gleichungen

82

3.6 Anwendungen

86

3.6.1 Klassische Vermessungsaufgaben

86

3.6.2 Vermessung beim Tunnelbau

89

3.6.3 Schallmessortung

89

3.7 Übungsaufgaben

92

3.7.1 Zu Abschnitt 3.2

92

3.7.2 Zu Abschnitt 3.3

93

3.7.3 Zu Abschnitt 3.4.1

94

3.7.4 Zu Abschnitt 3.5

94

4 Funktionen

95

4.1 Der Funktionsbegriff

95

4.2 Lineare Funktionen

96

4.2.1 Ganzrationale Funktionen: Begriff und allgemeine Eigenschaften

96

4.2.2 Eigenschaften linearer Funktionen

96

4.2.3 Anwendungsbeispiel: Schnittpunkt

99

4.2.4 Graphische Darstellung linearer Gleichungssysteme

100

4.2.5 Lineare Ungleichungen in 2 Variablen

101

4.2.6 Systeme linearer Ungleichungen in 2 Variablen

102

4.2.7 Lineare Optimierung

103

4.3 Quadratische Funktionen

106

4.4 Ganzrationale Funktionen höheren Grades

108

4.5 Anwendung ganzrationaler Funktionen

111

4.6 Gebrochenrationale Funktionen

115

4.6.1 Begriff und allgemeine Eigenschaften

115

4.6.2 Asymptoten

116

4.7 Potenz- und Wurzelfunktionen

118

4.7.1 Potenzfunktionen

118

4.7.2 Wurzelfunktionen

118

4.7.3 Beispiele

119

4.8 Exponentialfunktionen

123

4.8.1 Allgemeine Eigenschaften

123

4.8.2 Beispiele

124

Radioaktiver Zerfall

125

4.9 Logarithmusfunktionen

128

4.10 Trigonometrische Funktionen

128

4.10.1 Periodizität

128

4.10.2 Funktionen mit Parametern

129

4.10.3 Schwingungen in der Technik

130

4.11 Umkehrfunktionen

131

4.11.1 Begriff

131

4.11.2 Bestimmung der Umkehrfunktion

131

4.11.3 Einige Funktionen und ihre Umkehrungen

132

4.11.4 Temperaturskala

132

4.12 Übungsaufgaben

133

4.12.1 Zu Abschnitt 4.2

133

4.12.2 Zu Abschnitt 4.3

136

4.12.3 Zu Abschnitt 4.11.4

137

5 Wahrscheinlichkeits­rechnung und Statistik

138

5.1 Einführung

138

5.2 Zufall und Wahrscheinlichkeit

139

5.3 Einfache Kombinatorik

142

5.4 Binomialverteilung

144

5.4.1 Grundlagen

144

5.4.2 Anwendungsbeispiel: Qualitätskontrolle

146

5.4.3 Verallgemeinerung: Multinomiale Verteilung

148

5.5 Beschreibung einer statistischen ­Gesamtheit

148

5.5.1 Streuung

148

5.5.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen

148

5.5.3 Mittelwert und Standardabweichung

151

5.5.4 Beschreibung einer Gesamtheit von Daten mit Kenngrößen

152

5.6 Die Normalverteilung

153

5.7 Messdatenauswertung

157

5.7.1 Resultatangabe und Vertrauensintervall

157

5.7.2 Ausgleichsrechnung

158

5.8 Statistische Entscheidungsfindung

162

5.8.1 Statistisches Testen

162

5.8.2 Prozessbeherrschung

164

5.9 Elektronische Hilfsmittel

165

5.10 Übungsaufgaben

166

5.10.1 Zu Abschnitt 5.4

166

5.10.2 Zu Abschnitt 5.5

167

5.10.3 Zu Abschnitt 5.6

168

5.10.4 Zu Abschnitt 5.7

168

5.10.5 Zu Abschnitt 5.8

171

6 Komplexe Zahlen

173

6.1 Definition und Grundbegriffe

173

6.1.1 Definition

173

6.1.2 Die Gauß’sche Zahlenebene

174

6.1.3 Komplexe Konjugation

174

6.1.4 Betrag

174

6.1.5 Argument

174

6.2 Darstellungsformen

175

6.2.1 Algebraische Form

175

6.2.2 Trigonometrische Form

175

6.2.3 Umrechnungen

175

6.3 Die vier Grundrechenarten

176

6.3.1 Addition und Subtraktion

176

6.3.2 Multiplikation und Division

176

6.3.3 Multiplikation und Division in trigonometrischer Darstellung

177

6.3.4 Möglichkeiten des TI-30X Pro

177

6.4 Höhere Rechenarten

178

6.4.1 Potenzen

178

6.4.2 Wurzeln

178

6.4.3 Exponentialfunktion

178

6.5 Der Fundamentalsatz der Algebra

179

6.6 Die Lösungsformel der kubischen ­Gleichung

180

6.7 Anwendung: Wechselstromrechnung ­(Kurzer Abriss)

181

6.7.1 Einführung

181

6.7.2 Überlagerung von zwei Wechselspannungen

182

6.7.3 Komplexe Widerstände (Impedanzen)

183

7 Folgen und Reihen

185

7.1 Begriffe und Definitionen

185

7.1.1 Folgen

185

7.1.2 Reihen

186

7.2 Arithmetische Folgen und Reihen

187

7.2.1 Arithmetische Folgen

187

7.2.2 Arithmetische Reihen

187

7.3 Geometrische Folgen und Reihen

188

7.3.1 Geometrische Folgen

188

7.3.2 Geometrische Reihen

188

7.3.3 Unendliche geometrische Reihen

188

7.4 Anwendung: Potenzreihen bekannter ­Funktionen

189

7.5 Übungsaufgaben

190

7.5.1 Zu Abschnitt 7.1

190

7.5.2 Zu Abschnitt 7.2

190

7.5.3 Zu Abschnitt 7.3

191

8 Differenzialrechnung

192

8.1 Grundlagen

192

8.1.1 Grenzwerte von Zahlenfolgen

192

8.1.2 Grenzwerte von Funktionen

193

8.1.3 Stetigkeit

195

8.2 Die Ableitung

195

8.2.1 Der Differenzialquotient

195

8.2.2 Wichtige Ableitungsregeln

196

8.2.3 Die Ableitung ganzrationaler Funktionen

198

8.2.4 Die Ableitungsfunktion

198

8.3 Die Bedeutung der 1. bis 3. Ableitung

199

8.3.1 Maxima

199

8.3.2 Minima

200

8.3.3 Krümmung

200

8.3.4 Wendepunkte

201

8.3.5 Beispiel

201

8.4 Weitere Ableitungsregeln

202

8.4.1 Produktregel

202

8.4.2 Quotientenregel

202

8.4.3 Kettenregel

203

8.4.4 Die Ableitung der trigonometrischen Funktionen

204

8.4.5 Die Ableitung von Logarithmusfunktionen

205

8.4.6 Die Ableitung der Umkehrfunktion

206

8.4.7 Die Ableitung von Exponentialfunktionen

207

8.5 Funktionen mit mehreren Variablen

207

8.6 Anwendungen

207

8.6.1 Kurvendiskussion

207

8.6.2 Extremwertprobleme

208

8.6.3 Einige Extremalprinzipien aus der Physik

209

8.6.4 Ausgleichsrechnung: Beispiel Lineare Regression

211

8.6.5 Maschinenbau: Wechselkräfte in einer Kolbenmaschine

212

8.6.6 Das Newton-Verfahren zur numerischen Auflösung von Gleichungen

215

8.6.7 Vereinfachung des Newton-Verfahrens: Regula falsi

219

8.6.8 Bestimmung aller Lösungen einer algebraischen Gleichung

220

8.6.9 Parameterbestimmung in der Physik: Gas-Zustandsgleichung

221

8.6.10 Fehlerfortpflanzung

223

8.6.11 Unsicherheitsabschätzung

224

8.7 Übungsaufgaben

225

8.7.1 Zu Abschnitt 8.1

225

8.7.2 Zu Abschnitt 8.2

226

8.7.3 Zu Abschnitt 8.3

226

8.7.4 Zu Abschnitt 8.4

226

8.7.5 Zu Abschnitt 8.6.2

228

9 Integralrechnung

232

9.1 Das bestimmte Integral

232

9.1.1 Begriffe und Grundlagen

232

9.1.2 Berechnung bestimmter Integrale

233

9.2 Die Stammfunktion und ihre Ableitung

234

9.3 Das unbestimmte Integral

235

9.4 Integrationsregeln

236

9.4.1 Integrationsregeln aus Ableitungsregeln

236

9.4.2 Logarithmische Ableitung

237

9.4.3 Partielle Integration

237

9.4.4 Integration durch Substitution

238

9.5 Numerische Integration

238

9.5.1 Integration durch Approximation

238

9.5.2 Trapez-Integration

239

9.5.3 Romberg-Integration

239

9.6 Anwendungen

240

9.6.1 Mittelwert einer Funktion in einem Intervall

240

9.6.2 Flächenschwerpunkt

241

9.6.3 Bogenlänge

242

9.6.4 Linienschwerpunkt

243

9.6.5 Flächen- und Trägheitsmomente

244

9.6.6 Arbeit/Energie bei ortsabhängiger Kraft

245

9.6.7 Das RC-Glied

247

9.6.8 Leistung des Wechselstroms

248

9.6.9 Frequenzanalyse (Fourier-Analyse, harmonische Analyse)

250

9.6.10 Seilreibung

254

9.6.11 Abkühlung

255

9.6.12 Barometrische Höhenformel

257

9.6.13 Berechnung des Integrals einer punktweise gegebenen Funktion

258

9.6.14 Bewegungsprobleme in der Physik

258

Literaturverzeichnis

260

Sachwortverzeichnis

262

 

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