Werner Helm, Andreas Pfeifer, Joachim Ohser
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
Ein Lehr- und Übungsbuch für Bachelors
1 Funktionen einer reellen Variablen in ökonomischen Problemen
14
1.1 Mathematische Grundbegriffe
14
1.1.1 Funktionsbegriff
14
1.1.2 Ein Funktionenreservoir
18
1.1.3 Eigenschaften von Funktionen
22
1.1.4 Umkehrfunktion
25
1.2 Funktionen für ökonomische Zusammenhänge
30
1.3 Funktionen und ökonomisches Wachstum
31
Aufgaben 1.1 bis 1.18
34
2 Differenzialrechnung für Funktionen einer reellen Variablen in ökonomischen Problemen
37
2.1 Einführung
37
2.2 Mathematische Grundlagen
38
2.2.1 Grenzwert
38
Aufgaben 2.1 bis 2.6
44
2.2.2 Stetigkeit
45
2.2.3 Ableitung
48
Aufgaben 2.7 bis 2.15
56
2.2.4 Differenzial
57
Aufgabe 2.16
61
2.2.5 Untersuchung von Funktionen mithilfe ihrer Ableitungen
61
Aufgaben 2.17 und 2.18
67
2.2.6 Nichtlineare Gleichungen in ökonomischen Problemen und deren Lösung
67
Aufgaben 2.19 und 2.20
71
2.3 Ökonomische Probleme und Ableitungen von Funktionen
72
Aufgaben 2.21 bis 2.29
79
2.4 Reagibilität und Ableitungen
80
Aufgaben 2.30 bis 2.41
97
2.5 Extremwertaufgaben der Ökonomie
99
2.5.1 Extrema für Kostenfunktionen
99
Aufgaben 2.42 bis 2.48
110
2.5.2 Gewinnmaximum
111
Aufgaben 2.49 bis 2.57
141
2.6 Die Regel von de l'Hospital
143
Aufgabe 2.58
146
2.7 Reihen und Potenzreihen
146
2.7.1 Reihen
146
2.7.2 Potenzreihen
151
2.8 Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe
154
2.8.1 MacLaurinsche Reihen
154
2.8.2 Allgemeine Taylor-Reihen
158
Aufgaben 2.59 bis 2.61
159
2.9 Komplexe Zahlen
160
2.9.1 Definition und Darstellung komplexer Zahlen
160
2.9.2 Das Rechnen mit komplexen Zahlen
164
3 Funktionen mit mehreren Veränderlichen
170
3.1 Definition und Darstellungsform von Funktionen mit mehreren Veränderlichen
170
3.2 Partielle Differenziation
173
Aufgaben 3.1 bis 3.3
176
3.3 Partielle Ableitungen höherer Ordnung
176
Aufgabe 3.4
178
3.4 Tangentialebene und das totale Differenzial
179
3.4.1 Geometrische Betrachtungen
179
Aufgabe 3.5
180
3.4.2 Das totale Differenzial
180
3.5 Spezielle Ableitungstechniken
182
3.5.1 Differenziation nach einem Parameter
182
3.5.2 Implizite Differenziation
183
3.6 Anwendungen
183
3.6.1 Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme
184
3.6.2 Lokale Extrema und Sattelpunkte
186
3.6.3 Fehlerrechnung
191
3.6.4 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen
192
Aufgaben 3.6 bis 3.8
195
4 Integralrechnung
196
4.1 Integration als Umkehrung der Differenziation – das unbestimmte Integral
196
Aufgaben 4.1 bis 4.3
203
Aufgabe 4.4
204
4.2 Das bestimmte Integral – Hauptsatz der Integralrechnung
205
Aufgaben 4.5 und 4.6
210
4.3 Uneigentliche Integrale
210
4.4 Geometrische Anwendungen
212
4.4.1 Flächenberechnung
212
4.4.2 Länge einer Kurve
214
4.4.3 Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern
215
4.5 Anwendung der Integralrechnung in ökonomischen Zusammenhängen
217
4.6 Numerische Integration
220
Aufgabe 4.7
222
4.7 Doppelintegrale
222
4.7.1 Doppelintegrale in kartesischen Koordinaten
222
4.7.2 Doppelintegrale in Polarkoordinaten
225
Aufgabe 4.8
228
5 Lineare Algebra in Betriebs- und Volkswirtschaft
229
5.1 Einführende Beispiele ökonomischen Inhalts
229
Aufgaben 5.1 und 5.2
232
5.2 Mathematische Grundlagen der Matrizen- und Vektorrechnung
232
5.2.1 Matrizen und Vektoren sowie ihre Spezifizierungen
233
Aufgaben 5.3 und 5.4
237
5.2.2 Rechnen mit Matrizen und Vektoren
237
Aufgaben 5.5 bis 5.8
246
5.2.3 Inverse Matrix
246
Aufgaben 5.9 bis 5.12
252
5.2.4 Gaussscher Algorithmus
253
Aufgaben 5.13 und 5.14
258
5.2.5 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
259
Aufgaben 5.15 bis 5.17
263
5.3 Matrizen und Vektoren in Betriebs- und Volkswirtschaft
264
Aufgaben 5.18 bis 5.22
273
5.4 Mathematische Grundlagen linearer algebraischer Gleichungssysteme
276
5.4.1 Einführung
276
5.4.2 Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme: Begriff und Methode
278
Aufgaben 5.23 bis 5.25
281
5.4.3 Gaussscher Algorithmus zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme
282
Aufgaben 5.26 bis 5.30
292
5.4.4 Basislösungen
293
Aufgaben 5.31 bis 5.36
299
5.4.5 Zusammenfassende Aussagen über lineare algebraische Gleichungssysteme
300
Aufgaben 5.37 bis 5.40
302
5.5 Lineare algebraische Gleichungssysteme in Betriebs- und Volkswirtschaft
303
Aufgaben 5.41 und 5.42
311
5.6 Determinante einer Matrix
312
Aufgaben 5.43 und 5.44
315
5.7 Das Eigenwertproblem für quadratische Matrizen
316
Aufgabe 5.45
320
6 Lineare Optimierung in Volkswirtschaft und Betriebswirtschaft
321
6.1 Problemstellungen und Grundbegriffe
321
6.1.1 Aufgabenstellung und Beispiele
321
6.1.2 Das Rechnen mit Ungleichungen
324
6.1.3 Die grafische Lösung
327
6.1.4 Allgemeine mathematische Formulierung des linearen Optimierungsproblems
332
6.2 Der Simplex-Algorithmus
334
6.2.1 Die Grundideen des Simplex-Verfahrens
334
6.2.2 Der Austauschschritt im Simplex-Tableau
335
6.2.3 Die Simplex-Regeln
339
6.2.4 Der Simplex-Algorithmus (Phase II)
341
6.2.5 Theoretische Ergänzungen und Sonderfälle
342
6.3 Der Simplex-Algorithmus für allgemeine lineare Programme
344
6.3.1 Minimumprobleme, Gleichungsrestriktionen, Varianten der Vorzeichenbeschränkungen, obere und untere Schranken
344
6.3.2 Simplex-Algorithmus: Phase I und Phase II
347
6.4 Dualität
349
6.4.1 Primal-Dual Beziehung und Dualitätssätze
349
6.4.2 Primal-Dual Beziehung und Komplementarität
352
6.4.3 Dualer Simplex-Algorithmus (Phase III)
354
6.4.4 Ökonomische Interpretationen der Größen in den Simplex-Tableaus
357
6.5 Weiterführende Aspekte
358
6.5.1 Modellbildung
358
6.5.2 Spezialfälle linearer Optimierung
360
6.5.3 Sensitivitätsanalyse bei der linearen Optimierung
363
6.5.4 Parametrische (lineare) Optimierung
364
6.5.5 Effizienz und Vergleich von LP-Solvern
364
6.5.6 Ganzzahlige lineare Optimierung
364
6.5.7 Nichtlineare Optimierung
365
Aufgaben 6.1 bis 6.11
365
7 Finanzmathematik
369
7.1 Zinsrechnung
370
7.1.1 Einfache Zinsen und Zinseszinsen
370
7.1.2 Vorschüssige Verzinsung
376
7.1.3 Gemischte Verzinsung
378
7.1.4 Unterjährige Verzinsung
379
7.1.5 Stetige Verzinsung
381
Aufgaben 7.1 bis 7.11
382
7.2 Barwert, Äquivalenz und Rendite
383
7.2.1 Barwert und Äquivalenz
383
7.2.2 Kapitalwertmethode
385
7.2.3 Rendite
387
7.2.4 Mittlerer Zahlungstermin und Duration
391
Aufgaben 7.12 bis 7.20
392
7.3 Rentenrechnung
393
7.3.1 Nachschüssige und vorschüssige Renten
393
7.3.2 Aufgeschobene, abgebrochene und ewige Rente
399
7.3.3 Jährliche Verzinsung – unterjährige Rentenzahlung
401
7.3.4 Unterjährige Verzinsung
406
Aufgaben 7.21 bis 7.31
407
7.4 Kreditrechnung
409
7.4.1 Grundbegriffe
409
7.4.2 Ratentilgung
411
7.4.3 Annuitätentilgung
411
7.4.4 Unterjährige Verzinsung, Tilgung und Rückzahlung
415
7.4.5 Ratenkredit
422
Aufgaben 7.32 bis 7.41
423
7.5 Kurs- und Renditerechnung
425
7.5.1 Grundlagen
425
7.5.2 Zinsschuld
426
7.5.3 Annuitätenschuld
430
Aufgaben 7.42 bis 7.48
434
7.6 Abschreibung
435
7.6.1 Grundlagen
435
7.6.2 Lineare Abschreibung
436
7.6.3 Geometrisch-degressive Abschreibung
437
7.6.4 Weitere Abschreibungsarten
438
7.6.5 Vergleich linearer und geometrisch-degressiver Abschreibung
440
Aufgaben 7.49 bis 7.55
442
7.7 Weitergehende Betrachtungen
443
7.7.1 Rendite und Risiko
443
7.7.2 „Neuere“ Finanzprodukte
445
Aufgaben 7.56 bis 7.58
446
8 Weitere praktische Probleme und deren Lösung
447
8.1 Nichtlineare Optimierung
447
8.1.1 Problemstellung, Grundlagen und grafische Lösungen
448
8.1.2 Karush-Kuhn-Tucker-Theorie (KKT-Theorie)
455
8.1.3 Nichtlineare Optimierungsprobleme ohne Nebenbedingungen
459
8.1.4 Bausteine der allgemeinen NLP-Techniken (Übersicht)
461
Aufgaben 8.1 bis 8.5
463
8.2 Problemlösungen mit einem Standard-Software-System
463
8.2.1 (Allgemeine) LP-Probleme
464
8.2.2 Ausgewählte NLP-Probleme
468
8.2.3 Portfolio-Probleme
469
8.2.4 Transportprobleme
472
8.2.5 Zuordnungsprobleme
474
8.2.6 Netzwerkprobleme
475
8.2.7 Netzplantechniken
477
8.2.8 Kundenwanderung
484
8.2.9 Verwaltung von Modellen: Algebraische Eingabe und Solver
486
Lösungen
489
Literaturverzeichnis
522
Sachwortverzeichnis
524
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