Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler - Ein Lehr- und Übungsbuch für Bachelors

Werner Helm, Andreas Pfeifer, Joachim Ohser

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Ein Lehr- und Übungsbuch für Bachelors

2015

534 Seiten

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ISBN: 9783446445925

 

1 Funktionen einer reellen Variablen in ökonomischen Problemen

14

1.1 Mathematische Grundbegriffe

14

1.1.1 Funktionsbegriff

14

1.1.2 Ein Funktionenreservoir

18

1.1.3 Eigenschaften von Funktionen

22

1.1.4 Umkehrfunktion

25

1.2 Funktionen für ökonomische Zusammenhänge

30

1.3 Funktionen und ökonomisches Wachstum

31

Aufgaben 1.1 bis 1.18

34

2 Differenzialrechnung für Funktionen einer reellen Variablen in ökonomischen Problemen

37

2.1 Einführung

37

2.2 Mathematische Grundlagen

38

2.2.1 Grenzwert

38

Aufgaben 2.1 bis 2.6

44

2.2.2 Stetigkeit

45

2.2.3 Ableitung

48

Aufgaben 2.7 bis 2.15

56

2.2.4 Differenzial

57

Aufgabe 2.16

61

2.2.5 Untersuchung von Funktionen mithilfe ihrer Ableitungen

61

Aufgaben 2.17 und 2.18

67

2.2.6 Nichtlineare Gleichungen in ökonomischen Problemen und deren Lösung

67

Aufgaben 2.19 und 2.20

71

2.3 Ökonomische Probleme und Ableitungen von Funktionen

72

Aufgaben 2.21 bis 2.29

79

2.4 Reagibilität und Ableitungen

80

Aufgaben 2.30 bis 2.41

97

2.5 Extremwertaufgaben der Ökonomie

99

2.5.1 Extrema für Kostenfunktionen

99

Aufgaben 2.42 bis 2.48

110

2.5.2 Gewinnmaximum

111

Aufgaben 2.49 bis 2.57

141

2.6 Die Regel von de l'Hospital

143

Aufgabe 2.58

146

2.7 Reihen und Potenzreihen

146

2.7.1 Reihen

146

2.7.2 Potenzreihen

151

2.8 Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe

154

2.8.1 MacLaurinsche Reihen

154

2.8.2 Allgemeine Taylor-Reihen

158

Aufgaben 2.59 bis 2.61

159

2.9 Komplexe Zahlen

160

2.9.1 Definition und Darstellung komplexer Zahlen

160

2.9.2 Das Rechnen mit komplexen Zahlen

164

3 Funktionen mit mehreren Veränderlichen

170

3.1 Definition und Darstellungsform von Funktionen mit mehreren Veränderlichen

170

3.2 Partielle Differenziation

173

Aufgaben 3.1 bis 3.3

176

3.3 Partielle Ableitungen höherer Ordnung

176

Aufgabe 3.4

178

3.4 Tangentialebene und das totale Differenzial

179

3.4.1 Geometrische Betrachtungen

179

Aufgabe 3.5

180

3.4.2 Das totale Differenzial

180

3.5 Spezielle Ableitungstechniken

182

3.5.1 Differenziation nach einem Parameter

182

3.5.2 Implizite Differenziation

183

3.6 Anwendungen

183

3.6.1 Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme

184

3.6.2 Lokale Extrema und Sattelpunkte

186

3.6.3 Fehlerrechnung

191

3.6.4 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

192

Aufgaben 3.6 bis 3.8

195

4 Integralrechnung

196

4.1 Integration als Umkehrung der Differenziation – das unbestimmte Integral

196

Aufgaben 4.1 bis 4.3

203

Aufgabe 4.4

204

4.2 Das bestimmte Integral – Hauptsatz der Integralrechnung

205

Aufgaben 4.5 und 4.6

210

4.3 Uneigentliche Integrale

210

4.4 Geometrische Anwendungen

212

4.4.1 Flächenberechnung

212

4.4.2 Länge einer Kurve

214

4.4.3 Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern

215

4.5 Anwendung der Integralrechnung in ökonomischen Zusammenhängen

217

4.6 Numerische Integration

220

Aufgabe 4.7

222

4.7 Doppelintegrale

222

4.7.1 Doppelintegrale in kartesischen Koordinaten

222

4.7.2 Doppelintegrale in Polarkoordinaten

225

Aufgabe 4.8

228

5 Lineare Algebra in Betriebs- und Volkswirtschaft

229

5.1 Einführende Beispiele ökonomischen Inhalts

229

Aufgaben 5.1 und 5.2

232

5.2 Mathematische Grundlagen der Matrizen- und Vektorrechnung

232

5.2.1 Matrizen und Vektoren sowie ihre Spezifizierungen

233

Aufgaben 5.3 und 5.4

237

5.2.2 Rechnen mit Matrizen und Vektoren

237

Aufgaben 5.5 bis 5.8

246

5.2.3 Inverse Matrix

246

Aufgaben 5.9 bis 5.12

252

5.2.4 Gaussscher Algorithmus

253

Aufgaben 5.13 und 5.14

258

5.2.5 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

259

Aufgaben 5.15 bis 5.17

263

5.3 Matrizen und Vektoren in Betriebs- und Volkswirtschaft

264

Aufgaben 5.18 bis 5.22

273

5.4 Mathematische Grundlagen linearer algebraischer Gleichungssysteme

276

5.4.1 Einführung

276

5.4.2 Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme: Begriff und Methode

278

Aufgaben 5.23 bis 5.25

281

5.4.3 Gaussscher Algorithmus zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme

282

Aufgaben 5.26 bis 5.30

292

5.4.4 Basislösungen

293

Aufgaben 5.31 bis 5.36

299

5.4.5 Zusammenfassende Aussagen über lineare algebraische Gleichungssysteme

300

Aufgaben 5.37 bis 5.40

302

5.5 Lineare algebraische Gleichungssysteme in Betriebs- und Volkswirtschaft

303

Aufgaben 5.41 und 5.42

311

5.6 Determinante einer Matrix

312

Aufgaben 5.43 und 5.44

315

5.7 Das Eigenwertproblem für quadratische Matrizen

316

Aufgabe 5.45

320

6 Lineare Optimierung in Volkswirtschaft und Betriebswirtschaft

321

6.1 Problemstellungen und Grundbegriffe

321

6.1.1 Aufgabenstellung und Beispiele

321

6.1.2 Das Rechnen mit Ungleichungen

324

6.1.3 Die grafische Lösung

327

6.1.4 Allgemeine mathematische Formulierung des linearen Optimierungsproblems

332

6.2 Der Simplex-Algorithmus

334

6.2.1 Die Grundideen des Simplex-Verfahrens

334

6.2.2 Der Austauschschritt im Simplex-Tableau

335

6.2.3 Die Simplex-Regeln

339

6.2.4 Der Simplex-Algorithmus (Phase II)

341

6.2.5 Theoretische Ergänzungen und Sonderfälle

342

6.3 Der Simplex-Algorithmus für allgemeine lineare Programme

344

6.3.1 Minimumprobleme, Gleichungsrestriktionen, Varianten der Vorzeichenbeschränkungen, obere und untere Schranken

344

6.3.2 Simplex-Algorithmus: Phase I und Phase II

347

6.4 Dualität

349

6.4.1 Primal-Dual Beziehung und Dualitätssätze

349

6.4.2 Primal-Dual Beziehung und Komplementarität

352

6.4.3 Dualer Simplex-Algorithmus (Phase III)

354

6.4.4 Ökonomische Interpretationen der Größen in den Simplex-Tableaus

357

6.5 Weiterführende Aspekte

358

6.5.1 Modellbildung

358

6.5.2 Spezialfälle linearer Optimierung

360

6.5.3 Sensitivitätsanalyse bei der linearen Optimierung

363

6.5.4 Parametrische (lineare) Optimierung

364

6.5.5 Effizienz und Vergleich von LP-Solvern

364

6.5.6 Ganzzahlige lineare Optimierung

364

6.5.7 Nichtlineare Optimierung

365

Aufgaben 6.1 bis 6.11

365

7 Finanzmathematik

369

7.1 Zinsrechnung

370

7.1.1 Einfache Zinsen und Zinseszinsen

370

7.1.2 Vorschüssige Verzinsung

376

7.1.3 Gemischte Verzinsung

378

7.1.4 Unterjährige Verzinsung

379

7.1.5 Stetige Verzinsung

381

Aufgaben 7.1 bis 7.11

382

7.2 Barwert, Äquivalenz und Rendite

383

7.2.1 Barwert und Äquivalenz

383

7.2.2 Kapitalwertmethode

385

7.2.3 Rendite

387

7.2.4 Mittlerer Zahlungstermin und Duration

391

Aufgaben 7.12 bis 7.20

392

7.3 Rentenrechnung

393

7.3.1 Nachschüssige und vorschüssige Renten

393

7.3.2 Aufgeschobene, abgebrochene und ewige Rente

399

7.3.3 Jährliche Verzinsung – unterjährige Rentenzahlung

401

7.3.4 Unterjährige Verzinsung

406

Aufgaben 7.21 bis 7.31

407

7.4 Kreditrechnung

409

7.4.1 Grundbegriffe

409

7.4.2 Ratentilgung

411

7.4.3 Annuitätentilgung

411

7.4.4 Unterjährige Verzinsung, Tilgung und Rückzahlung

415

7.4.5 Ratenkredit

422

Aufgaben 7.32 bis 7.41

423

7.5 Kurs- und Renditerechnung

425

7.5.1 Grundlagen

425

7.5.2 Zinsschuld

426

7.5.3 Annuitätenschuld

430

Aufgaben 7.42 bis 7.48

434

7.6 Abschreibung

435

7.6.1 Grundlagen

435

7.6.2 Lineare Abschreibung

436

7.6.3 Geometrisch-degressive Abschreibung

437

7.6.4 Weitere Abschreibungsarten

438

7.6.5 Vergleich linearer und geometrisch-degressiver Abschreibung

440

Aufgaben 7.49 bis 7.55

442

7.7 Weitergehende Betrachtungen

443

7.7.1 Rendite und Risiko

443

7.7.2 „Neuere“ Finanzprodukte

445

Aufgaben 7.56 bis 7.58

446

8 Weitere praktische Probleme und deren Lösung

447

8.1 Nichtlineare Optimierung

447

8.1.1 Problemstellung, Grundlagen und grafische Lösungen

448

8.1.2 Karush-Kuhn-Tucker-Theorie (KKT-Theorie)

455

8.1.3 Nichtlineare Optimierungsprobleme ohne Nebenbedingungen

459

8.1.4 Bausteine der allgemeinen NLP-Techniken (Übersicht)

461

Aufgaben 8.1 bis 8.5

463

8.2 Problemlösungen mit einem Standard-Software-System

463

8.2.1 (Allgemeine) LP-Probleme

464

8.2.2 Ausgewählte NLP-Probleme

468

8.2.3 Portfolio-Probleme

469

8.2.4 Transportprobleme

472

8.2.5 Zuordnungsprobleme

474

8.2.6 Netzwerkprobleme

475

8.2.7 Netzplantechniken

477

8.2.8 Kundenwanderung

484

8.2.9 Verwaltung von Modellen: Algebraische Eingabe und Solver

486

Lösungen

489

Literaturverzeichnis

522

Sachwortverzeichnis

524

 

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