Mathematik für Wirtschaftsingenieure

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen

1.1 Aussagen

1.2 Mengen

1.3 Abbildungen und Verknu?pfungen

1.4 Die reellen Zahlen und Teilmengen der reellen Zahlen

1.4.1 Eigenschaften der reellen Zahlen

1.4.2 Wichtige Teilmengen der reellen Zahlen

1.5 Summen, Produkte und vollständige Induktion

1.6 Aufgaben

2 Komplexe Zahlen und algebraische Gleichungen

2.1 Komplexe Zahlen

2.1.1 Einfu?hrung

2.1.2 Grundbegriffe

2.1.3 Rechenoperationen

2.1.4 Exponentialdarstellung von komplexen Zahlen

2.1.5 Anwendungen

2.2 Algebraische Gleichungen

2.3 Aufgaben

3 Vektorrechnung

3.1 Einfu?hrung und Grundbegriffe

3.2 Rechnen mit Vektoren

3.2.1 Addition von Vektoren und Multiplikation mit einer Zahl

3.2.2 Skalarprodukt und Betrag von Vektoren

3.2.3 Winkel zwischen Vektoren, Zerlegung von Vektoren

3.2.4 Basisvektoren

3.2.5 Das Vektorprodukt

3.2.6 Das Spatprodukt und Mehrfachprodukte

3.3 Vektorrechnung und Geometrie

3.3.1 Punkte im Raum

3.3.2 Geraden im Raum

3.3.3 Ebenen im Raum

3.3.4 Abstände

3.3.5 Winkel

3.4 Aufgaben

4 Matrizen, Determinanten und lineare Gleichungssysteme

4.1 Matrizen und Determinanten

4.1.1 Grundbegriffe und spezielle Matrizen

4.1.2 Addition und Multiplikation von Matrizen

4.1.2.1 Addition von Matrizen und Multiplikation mit einer Zahl

4.1.2.2 Multiplikation von Matrizen und inverse Matrix

4.1.3 Determinante einer Matrix

4.1.4 Inversion einer Matrix mit Determinanten

4.2 Lineare Gleichungssysteme

4.2.1 Lösung mit dem Gaußschen Algorithmus

4.2.2 Lösung mit Determinanten: Cramersche Regel

4.2.3 Inversion von Matrizen als Lösung von Gleichungssystemen

4.2.4 Kondition eines Gleichungssystems

4.3 Aufgaben

5 Funktionen von einer Variablen

5.1 Grundlagen

5.2 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

5.2.1 Folgen

5.2.2 Grenzwert einer Funktion

5.2.2.1 Grenzwert fu?r x?x_0

5.2.2.2 Grenzwert fu?r x?± ? und Asymptoten

5.2.3 Stetigkeit einer Funktion

5.3 Elementare Funktionen

5.3.1 Polynomfunktion

5.3.2 Gebrochenrationale Funktionen

5.3.3 Die Exponentialfunktion

5.3.3.1 Definition und Eigenschaften der Exponentialfunktion

5.3.3.2 Anwendungsbeispiele der Exponentialfunktion

5.3.4 Die Logarithmusfunktion

5.3.5 Die Exponentialfunktion zur Basis a

5.3.6 Die Logarithmusfunktion zur Basis a

5.3.7 Potenz- und Wurzelfunktionen

5.3.8 Trigonometrische Funktionen

5.3.9 Arkusfunktionen

5.3.10 Hyperbelfunktionen

5.3.11 Areafunktionen

5.4 Aufgaben

6 Differenzialrechnung mit Funktionen einer Variablen

6.1 Einfu?hrung und Grundlagen

6.2 Ableitungsregeln

6.3 Ableitung elementarer Funktionen

6.4 Berechnung von Grenzwerten

6.5 Extrema, Kru?mmung und Wendepunkte

6.5.1 Extrema von Funktionen

6.5.2 Kru?mmung einer Funktion und Wendepunkte

6.6 Kurvendiskussion

6.7 Anwendungsbeispiele

6.8 Aufgaben

7 Integralrechnung mit Funktionen von einer Variablen

7.1 Einfu?hrung und Grundlagen

7.2 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

7.3 Grundintegrale

7.4 Eigenschaften des Integrals

7.5 Integrationsmethoden

7.5.1 Partielle Integration

7.5.2 Integration durch Substitution

7.5.3 Logarithmische Integration

7.5.4 Integration durch Partialbruchzerlegung

7.6 Uneigentliche Integrale

7.7 Anwendungsbeispiele

7.8 Aufgaben

8 Reihen und Reihenentwicklung von Funktionen

8.1 Grundlagen

8.1.1 Die endliche geometrische Reihe

8.1.2 Unendliche Reihen

8.2 Potenzreihen

8.3 Taylorreihen, Taylorentwicklung

8.4 Fourierreihen, Fourierentwicklung

8.5 Aufgaben

9 Der n-dimensionale Raum und Raumkurven

9.1 Der n-dimensionale Raum

9.1.1 Grundbegriffe

9.1.2 Koordinaten im R^2 und R^3

9.1.2.1 Polarkoordinaten im R^2

9.1.2.2 Zylinderkoordinaten im R^3

9.1.2.3 Kugelkoordinaten im R^3

9.2 Raumkurven

9.2.1 Tangential- und Normalenvektoren

9.2.2 Bogenlänge

9.2.3 Kru?mmung

9.3 Aufgaben

10 Differenzialrechnung mit Funktionen von mehreren Variablen

10.1 Funktionen von mehreren Variablen

10.2 Partielle Ableitung und partielle Differenzierbarkeit

10.3 Differenzierbarkeit, Linearisierung und Taylorentwicklung

10.3.1 Differenzierbarkeit und totales Differenzial

10.3.2 Ableitung nach einem Parameter

10.3.3 Taylorentwicklung

10.4 Extrema von Funktionen von mehreren Variablen

10.4.1 Extrema ohne Nebenbedingungen

10.4.2 Extrema mit Nebenbedingungen

10.5 Aufgaben

11 Integralrechnung mit Funktionen von mehreren Variablen

11.1 Bereichsintegrale

11.1.1 Bereichsintegral einer Funktion von zwei Variablen

11.1.1.1 Integration in kartesischen Koordinaten

11.1.1.2 Integration in Polarkoordinaten

11.1.2 Bereichsintegral einer Funktion von drei Variablen

11.1.2.1 Integration in kartesischen Koordinaten

11.1.2.2 Integration in Zylinderkoordinaten

11.1.2.3 Integration in Kugelkoordinaten

11.2 Kurvenintegrale

11.3 Aufgaben

12 Gewöhnliche Differenzialgleichungen

12.1 Einfu?hrung und Grundlagen

12.2 Gewöhnliche Differenzialgleichungen erster Ordnung

12.2.1 Separable Differenzialgleichungen: Trennung der Variablen

12.2.2 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung

12.2.2.1 Homogene lineare Differenzialgleichung erster Ordnung

12.2.2.2 Inhomogene lineare Differenzialgleichung erster Ordnung

12.3 Gewöhnliche Differenzialgleichungen zweiter Ordnung

12.3.1 Homogene lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

12.3.2 Inhomogen lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

12.4 Aufgaben

13 Wahrscheinlichkeitsrechnung

13.1 Kombinatorik

13.1.1 Permutationen

13.1.2 Variationen

13.1.3 Kombinationen

13.1.4 Zusammenfassung

13.1.5 Aufgaben zu Abschnitt 13.1

13.2 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit

13.2.1 Zufallsexperimente

13.2.2 Klassische Wahrscheinlichkeit nach Laplace

13.2.3 Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung

13.2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit, stochastische Unabhängigkeit, totale Wahrscheinlichkeit und Formel von Bayes

13.2.5 Zusammenfassung

13.2.6 Aufgaben zu Abschnitt 13.2

13.3 Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilung

13.3.1 Diskrete Zufallsvariablen

13.3.1.1 Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion

13.3.1.2 Parameter einer diskreten Verteilung

13.3.2 Stetige Zufallsvariablen

13.3.2.1 Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte

13.3.2.2 Parameter einer stetigen Verteilung

13.3.3 Zweidimensionale stetige Zufallsvariablen

13.3.3.1 Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte

13.3.3.2 Parameter einer zweidimensionalen Zufallsvariablen

13.3.3.3 Summen von Zufallsvariablen

13.4 Spezielle Verteilungen

13.4.1 Diskrete Verteilungen

13.4.1.1 Die Binomialverteilung

13.4.1.2 Die hypergeometrische Verteilung

13.4.1.3 Die Poissonverteilung

13.4.2 Stetige Verteilungen

13.4.2.1 Die Normalverteilung

13.4.2.2 Die Lognormalverteilung

13.4.2.3 Die Exponentialverteilung

13.4.2.4 Die Weibullverteilung

13.4.2.5 Die t-Verteilung

13.4.2.6 Die Chi-Quadrat-Verteilung

13.4.2.7 Die F-Verteilung

13.4.3 Anwendungsbeispiele in der Qualitätssicherung

13.4.4 Die zweidimensionale Normalverteilung

13.5 Grenzwertsätze und Näherungen

13.5.1 Die Binomialverteilung als Näherung fu?r die hypergeometrische Verteilung

13.5.2 Die Poissonverteilung als Näherung fu?r die Binomialverteilung

13.5.3 Der zentrale Grenzwertsatz und das Gesetz der großen Zahlen

13.6 Aufgaben zu den Abschnitten 13.3 bis 13.5

14 Deskriptive Statistik

14.1 Einfu?hrung und Grundbegriffe

14.2 Univariate deskriptive Statistik

14.2.1 Häufigkeitsverteilung und grafische Darstellungen

14.2.1.1 Keine Klassenbildung

14.2.1.2 Klassenbildung

14.2.2 Maßzahlen

14.2.2.1 Lagemaßzahlen

14.2.2.2 Streuungsmaßzahlen

14.2.2.3 Konzentrationsmaßzahl: Gini-Koeffizient

14.3 Bivariate deskriptive Statistik

14.3.1 Häufigkeitstabellen und grafische Darstellungen

14.3.2 Maßzahlen

14.4 Aufgaben

15 Schließende Statistik

15.1 Einfu?hrung und Grundbegriffe

15.2 Schätzen von Parametern

15.2.1 Eigenschaften von Schätzfunktionen

15.2.2 Maximum-Likelihood-Schätzung

15.2.3 Konfidenzintervalle

15.2.4 Aufgaben zu Abschnitt 15.2

15.3 Statistische Tests

15.3.1 Einfu?hrung, Grundbegriffe und Vorgehensweise bei Tests

15.3.2 Spezielle Parametertests

15.3.2.1 Test fu?r den Erwartungswert einer normalverteilten Größe

15.3.2.2 Test fu?r die Varianz einer normalverteilten Größe

15.3.2.3 Test fu?r den Erwartungswert einer beliebig verteilten Größe

15.3.2.4 Test fu?r den Parameter p einer binomialverteilten Größe

15.3.2.5 Test fu?r den Vergleich der Erwartungswerte zweier Größen

15.3.2.6 Test fu?r den Vergleich der Varianzen zweier normalverteilter Größen

15.3.2.7 Test fu?r den Vergleich der Parameter zweier binomialverteilter Größen

15.3.2.8 Test fu?r den Korrelationskoeffizienten einer zweidimensionalen Normalverteilung

15.3.3 Der Chi-Quadrat-Anpassungstest

15.3.4 Unabhängigkeits- und Homogenitätstests

15.3.4.1 Der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest

15.3.4.2 Der Chi-Quadrat-Homogenitätstest

15.3.5 Der Mann-Whitney-Wilcoxon-Test

15.3.6 Aufgaben zu Abschnitt 15.3

16 Lineare Optimierung

16.1 Grafische Lösung und Simplex-Algorithmus

16.1.1 Grafische Lösung

16.1.2 Der Simplex-Algorithmus

16.1.3 Sonderfälle

16.1.4 Zusammenfassung des Simplex-Algorithmus

16.1.5 Aufgaben zu Abschnitt 16.1

16.2 Transportprobleme

16.2.1 Die Struktur von Transportproblemen

16.2.2 Der Transportalgorithmus

16.2.3 Aufgaben zu Abschnitt 16.2

17 Mathematik mit dem Computer

17.1 Einfu?hrung

17.2 Lösung mathematischer Probleme mit Maple

17.2.1 Einfu?hrung

17.2.2 Lösungsbeispiele

17.2.2.1 Lösen von Gleichungen

17.2.2.2 Rechnen mit komplexen Zahlen

17.2.2.3 Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme

17.2.2.4 Funktionsgraphen

17.2.2.5 Differenzialrechnung

17.2.2.6 Integralrechnung

17.2.2.7 Summen, unendliche Reihen und Reihenentwicklung von Funktionen

17.2.2.8 Grenzwerte

17.2.2.9 Differenzialgleichungen

17.2.2.10 Wahrscheinlichkeitsrechnung

17.2.2.11 Lineare Optimierung

A Lösungen der Aufgaben

B Statistik-Tabellen

B.1 Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

B.2 Quantile der t-Verteilung

B.3 Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung

B.4 Quantile der F-Verteilung

B.5 Werte fu?r den Mann-Whitney-Wilcoxon-Test

Literaturverzeichnis

Sachwortverzeichnis