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Ekbert Hering
Taschenbuch für Wirtschaftsingenieure
| 1 | Mathematik, Statistik, Operations Research |
| 1.1 | Zahlenmengen |
Zahlenmengen
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N, |
Menge der nichtnegativen ganzen (natürlichen) Zahlen |
|
N* |
Menge der positiven ganzen Zahlen (früher N+) |
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Z, |
Menge der ganzen Zahlen |
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Q, |
Menge der rationalen Zahlen |
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R, |
Menge der reellen Zahlen |
|
R>0 |
Menge der positiven reellen Zahlen (früher R+) |
|
C, |
Menge der komplexen Zahlen |
Rechenregeln in R
Binomische Formeln
Binomialkoeffizient (gesprochen: „n über k“)
Multiplikation und Division von Brüchen
Multiplikation und Division „mit 0“
Addition von Brüchen
|
Gleichnamige Brüche: |
Ungleichnamige Brüche: |
|
Ausklammern: c ≠ 0 |
Komplexe Zahlen C
Eine komplexe Zahl z hat die Form z = a + bi, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist. a ist der Realteil Re und b ist der Imaginärteil Im einer komplexen Zahl z mit a, b ∈ R. Für die imaginäre Einheit i wird festgelegt .
Bild 1.1 Darstellung komplexer Zahlen
Ein Punkt P( a, b) kann neben der kartesischen Darstellung mit seinen beiden Komponenten a und b auch mit den Polarkoordinaten r und φ dargestellt werden P( a, b) = P( r, φ).
Kartesische (algebraische) Form einer komplexen Zahl
Die Summe einer reellen und einer rein imaginären Zahl heißt komplexe Zahl z in der kartesischen Form, z = a + bi.
Trigonometrische Form einer komplexen Zahl
Jede komplexe Zahl z = a + bi kann in der trigonometrischen Form einer komplexen Zahl z = r · (cosφ + i · sinφ) dargestellt werden.
Eulersche Formel: eiφ = cosφ + i · sinφ, eiπ = −1
Exponentialform (Eulersche Form) einer komplexen Zahl
Die Darstellung einer komplexen Zahl z mit Hilfe der komplexen e -Funktion heißt Exponentialform einer komplexen Zahl z = r · eiφ.
r wird Betrag (oder Modul) von z (Schreibweise |z|) genannt, φ wird Argument (oder auch Winkel oder Phase) von z genannt.
Umrechnungsformeln
Rechenregeln
| 1.2 | Lineare Algebra |
Gegenstand der linearen Algebra (Lehre von den linearen Gleichungen) sind die Lösbarkeitskriterien und Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme.
| 1.2.1 | Determinanten |
Eine Determinante D ist eine Zahl, die einem quadratischen Schema von Zahlen durch eine bestimmte Vorschrift zugeordnet ist. Die Anzahl der Reihen (Zeilen oder Spalten) gibt die Ordnung der Determinante n an.
Berechnung für n ≤ 3:
Durch Streichen der i-ten Zeile und der k-ten Spalte einer n-reihigen Determinante entsteht die zugehörige Unterdeterminante Uik ( n − 1)-ter Ordnung. Jedem Element aik einer n-reihigen Determinante wird eine Adjunkte Aik zugeordnet, welche die mit ( −1)i+k multiplizierte Unterdeterminante Uik ( n − 1)-ter Ordnung ist, Aik = (−1)i+k · Uik.
Laplace’scher Entwicklungssatz
Wird jedes Element aik einer Reihe einer Determinante n-ter Ordnung mit seiner zugehörigen Adjunkten Aik multipliziert, ergibt sich der Wert der Determinante als Summe dieser n Produkte.
Zum Beispiel die Entwicklung nach der r-ten Zeile:
| 1.2.2 | Matrizen |
Eine Matrix A ist ein System von m · n Elementen aik (Zahlen oder sonstige mathematische Objekte), angeordnet in einem rechteckigen Schema von m Zeilen und n Spalten, A = A( m, n) = ( aik) = ( aik)( m, n).
Das geordnete Paar ( m, n) bezeichnet den Typ oder das Format einer Matrix A( m, n). Zwei Matrizen A( m, n) und B( m, n) sind genau dann gleich, wenn sie das gleiche Format haben und alle entsprechenden Elemente aik und bik gleich sind.
Wenn in der Matrix A( m, n) = ( aik) die Zeilen und Spalten miteinander vertauscht werden, heißt die so entstehende Matrix AT( m, n) = ( aik) die gestürzte oder transponierte Matrix, es gilt ( AT)T = A.
Falls in einer Matrix A = A( m, n) der Fall m = n auftritt, so ist A( m, m) eine quadratische Matrix von der Ordnung m oder vom Format ( m, m).
Wenn für eine quadratische Matrix A gilt: AT = A, so heißt diese Matrix A symmetrisch.
Zwei Matrizen mit gleichem Format heißen gleichartige Matrizen.
Gleichartige Matrizen können elementeweise addiert und subtrahiert werden. Für die Addition gleichartiger Matrizen gelten das
Kommutativgesetz A ± B = B ± A und das
Assoziativgesetz ( A ± B) ± C = A ± ( B ± C) = A ± B ± C
Eine Matrix wird mit einem Faktor k multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit dem Faktor k multipliziert wird.
Zwei Matrizen A und B heißen verkettet, wenn die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B ist.
Nur verkettete Matrizen können miteinander multipliziert werden.
Als Produkt C( m, p) = A( m, n) · B( n, p) der verketteten Matrizen A und B wird die Matrix bezeichnet, deren Elemente sich durch die Gleichung
C wird im Schema von Falk errechnet, z. B.
Für die Multiplikation von Matrizen gelten das Distributivgesetz (A + B) · C = A · C + B · C, falls Summen und Produkte der Matrizen existieren, sowie das Assoziativgesetz (A · B) · C = A · (B · C) = A · B · C.
Das Kommutativgesetz gilt im Allgemeinen nicht, also A · B ≠ B · A.
Eine quadratische Matrix, in der alle Elemente aik = 0, i ≠ k sind, heißt Diagonalmatrix. Eine Diagonalmatrix, deren Diagonalelemente alle eins und alle übrigen Elemente null sind, heißt...
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