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Stephan Emanuel Bucher
Anwendungsorientierte Mathematik für Techniker
Vorwort
6
Inhalt
8
1 Grundlagen
16
1.1 Die Zahlen
16
1.2 Arithmetische Grundoperationen
17
1.3 Rechenregeln
17
1.3.1 Reihenfolge der Operanden
17
1.3.2 Vorzeichen
17
1.3.3 Reihenfolge der Operationen
18
1.3.4 Addition und Subtraktion von Klammerausdrücken
19
1.3.5 Multiplikation von Klammerausdrücken
19
1.4 Bruchrechnen
19
1.4.1 Begriffe
19
1.4.2 Addition von Brüchen; das kleinste gemeinsame Vielfache
20
1.4.3 Kürzen
21
1.4.4 Multiplikation von Brüchen
22
1.4.5 Division von Brüchen
22
1.4.6 Umwandlung von Dezimalbrüchen in Brüche
23
1.5 Potenzen und Wurzeln
23
1.5.1 Potenzen
23
1.5.2 Quadratische binomische Ausdrücke
24
1.5.3 Höhere Potenzen binomischer Ausdrücke
25
1.5.4 Wurzeln
26
1.6 Logarithmen
27
1.6.1 Begriff
27
1.6.2 Rechenregeln
28
1.6.3 Wechsel der Basis
28
1.6.4 Die Bedeutung der Logarithmen
29
1.7 Zahlensysteme
30
1.8 Übungsaufgaben
31
1.8.1 Zu Abschnitt 1.3
31
1.8.2 Zu Abschnitt 1.4
32
1.8.3 Zu Abschnitt 1.5
33
1.8.4 Zu Abschnitt 1.6
34
2 Gleichungen
35
2.1 Begriffe
35
2.2 Das Umformen von Gleichungen
36
2.2.1 Begriff
36
2.2.2 Äquivalenzumformungen
36
2.2.3 Nichtäquivalente Umformungen
36
2.3 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten
37
2.3.1 Lösungsverfahren
37
2.3.2 Angewandte Aufgaben
37
2.4 Systeme linearer Gleichungen mit mehreren Unbekannten
38
2.4.1 Grundlagen
38
2.4.2 Lösung durch Substitution
39
2.4.3 Lösung mit Matrizenrechnung
39
2.4.4 Lösung eines Gleichungssystems mit der Determinantenmethode
41
2.5 Quadratische Gleichungen
43
2.5.1 Allgemeine Lösungsformel
43
2.5.2 Der Satz von Vieta
44
2.6 Algebraische Gleichungen höheren Grades
45
2.6.1 Lösungen
45
2.6.2 Lösung mit dem TI-30X Pro
45
2.7 Nichtlineare Gleichungssysteme mit 2 Unbekannten
46
2.7.1 Lösungsverfahren
46
2.7.2 Anwendungsbeispiel: Koordinatenbestimmung
46
2.8 Wurzelgleichungen
48
2.9 Exponentialgleichungen
50
2.9.1 Lösungsmethodik
50
2.9.2 Zins- und Investitionsrechnung
52
2.10 „Unlösbare“ Gleichungen: Der numerische Gleichungslöser des TI-30X Pro
54
2.11 Ungleichungen
55
2.11.1 Definition
55
2.11.2 Das Lösen von Ungleichungen
56
2.11.3 Lineare Ungleichungen
56
2.11.4 Nichtlineare Ungleichungen
57
2.12 Übungsaufgaben
60
2.12.1 Zu Abschnitt 2.2
60
2.12.2 Zu Abschnitt 2.3
60
2.12.3 Zu Abschnitt 2.4
64
2.12.4 Zu Abschnitt 2.5
67
2.12.5 Zu Abschnitt 2.6
68
2.12.6 Zu Abschnitt 2.7
69
2.12.7 Zu Abschnitt 2.8
70
2.12.8 Zu Abschnitt 2.9
70
2.12.9 Zu Abschnitt 2.10
71
3 Trigonometrie
72
3.1 Winkel
72
3.2 Die Winkelfunktionen
73
3.2.1 Definition am rechtwinkligen Dreieck
73
3.2.2 Umrechnungen, Darstellung am Einheitskreis
74
3.3 Berechnungen am Dreieck
76
3.3.1 Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck
76
3.3.2 Dreiecksfläche
77
3.3.3 Der Sinussatz
77
3.3.4 Der Kosinussatz
78
3.4 Weitere Formeln
79
3.4.1 Additionstheoreme
79
3.4.2 Winkelfunktionen für doppelte und halbe Winkel
80
3.4.3 Halbwinkelformeln
81
3.5 Das Lösen goniometrischer Gleichungen
82
3.6 Anwendungen
86
3.6.1 Klassische Vermessungsaufgaben
86
3.6.2 Vermessung beim Tunnelbau
89
3.6.3 Schallmessortung
89
3.7 Übungsaufgaben
92
3.7.1 Zu Abschnitt 3.2
92
3.7.2 Zu Abschnitt 3.3
93
3.7.3 Zu Abschnitt 3.4.1
94
3.7.4 Zu Abschnitt 3.5
94
4 Funktionen
95
4.1 Der Funktionsbegriff
95
4.2 Lineare Funktionen
96
4.2.1 Ganzrationale Funktionen: Begriff und allgemeine Eigenschaften
96
4.2.2 Eigenschaften linearer Funktionen
96
4.2.3 Anwendungsbeispiel: Schnittpunkt
99
4.2.4 Graphische Darstellung linearer Gleichungssysteme
100
4.2.5 Lineare Ungleichungen in 2 Variablen
101
4.2.6 Systeme linearer Ungleichungen in 2 Variablen
102
4.2.7 Lineare Optimierung
103
4.3 Quadratische Funktionen
106
4.4 Ganzrationale Funktionen höheren Grades
108
4.5 Anwendung ganzrationaler Funktionen
111
4.6 Gebrochenrationale Funktionen
115
4.6.1 Begriff und allgemeine Eigenschaften
115
4.6.2 Asymptoten
116
4.7 Potenz- und Wurzelfunktionen
118
4.7.1 Potenzfunktionen
118
4.7.2 Wurzelfunktionen
118
4.7.3 Beispiele
119
4.8 Exponentialfunktionen
123
4.8.1 Allgemeine Eigenschaften
123
4.8.2 Beispiele
124
Radioaktiver Zerfall
125
4.9 Logarithmusfunktionen
128
4.10 Trigonometrische Funktionen
128
4.10.1 Periodizität
128
4.10.2 Funktionen mit Parametern
129
4.10.3 Schwingungen in der Technik
130
4.11 Umkehrfunktionen
131
4.11.1 Begriff
131
4.11.2 Bestimmung der Umkehrfunktion
131
4.11.3 Einige Funktionen und ihre Umkehrungen
132
4.11.4 Temperaturskala
132
4.12 Übungsaufgaben
133
4.12.1 Zu Abschnitt 4.2
133
4.12.2 Zu Abschnitt 4.3
136
4.12.3 Zu Abschnitt 4.11.4
137
5 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
138
5.1 Einführung
138
5.2 Zufall und Wahrscheinlichkeit
139
5.3 Einfache Kombinatorik
142
5.4 Binomialverteilung
144
5.4.1 Grundlagen
144
5.4.2 Anwendungsbeispiel: Qualitätskontrolle
146
5.4.3 Verallgemeinerung: Multinomiale Verteilung
148
5.5 Beschreibung einer statistischen Gesamtheit
148
5.5.1 Streuung
148
5.5.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen
148
5.5.3 Mittelwert und Standardabweichung
151
5.5.4 Beschreibung einer Gesamtheit von Daten mit Kenngrößen
152
5.6 Die Normalverteilung
153
5.7 Messdatenauswertung
157
5.7.1 Resultatangabe und Vertrauensintervall
157
5.7.2 Ausgleichsrechnung
158
5.8 Statistische Entscheidungsfindung
162
5.8.1 Statistisches Testen
162
5.8.2 Prozessbeherrschung
164
5.9 Elektronische Hilfsmittel
165
5.10 Übungsaufgaben
166
5.10.1 Zu Abschnitt 5.4
166
5.10.2 Zu Abschnitt 5.5
167
5.10.3 Zu Abschnitt 5.6
168
5.10.4 Zu Abschnitt 5.7
168
5.10.5 Zu Abschnitt 5.8
171
6 Komplexe Zahlen
173
6.1 Definition und Grundbegriffe
173
6.1.1 Definition
173
6.1.2 Die Gauß’sche Zahlenebene
174
6.1.3 Komplexe Konjugation
174
6.1.4 Betrag
174
6.1.5 Argument
174
6.2 Darstellungsformen
175
6.2.1 Algebraische Form
175
6.2.2 Trigonometrische Form
175
6.2.3 Umrechnungen
175
6.3 Die vier Grundrechenarten
176
6.3.1 Addition und Subtraktion
176
6.3.2 Multiplikation und Division
176
6.3.3 Multiplikation und Division in trigonometrischer Darstellung
177
6.3.4 Möglichkeiten des TI-30X Pro
177
6.4 Höhere Rechenarten
178
6.4.1 Potenzen
178
6.4.2 Wurzeln
178
6.4.3 Exponentialfunktion
178
6.5 Der Fundamentalsatz der Algebra
179
6.6 Die Lösungsformel der kubischen Gleichung
180
6.7 Anwendung: Wechselstromrechnung (Kurzer Abriss)
181
6.7.1 Einführung
181
6.7.2 Überlagerung von zwei Wechselspannungen
182
6.7.3 Komplexe Widerstände (Impedanzen)
183
7 Folgen und Reihen
185
7.1 Begriffe und Definitionen
185
7.1.1 Folgen
185
7.1.2 Reihen
186
7.2 Arithmetische Folgen und Reihen
187
7.2.1 Arithmetische Folgen
187
7.2.2 Arithmetische Reihen
187
7.3 Geometrische Folgen und Reihen
188
7.3.1 Geometrische Folgen
188
7.3.2 Geometrische Reihen
188
7.3.3 Unendliche geometrische Reihen
188
7.4 Anwendung: Potenzreihen bekannter Funktionen
189
7.5 Übungsaufgaben
190
7.5.1 Zu Abschnitt 7.1
190
7.5.2 Zu Abschnitt 7.2
190
7.5.3 Zu Abschnitt 7.3
191
8 Differenzialrechnung
192
8.1 Grundlagen
192
8.1.1 Grenzwerte von Zahlenfolgen
192
8.1.2 Grenzwerte von Funktionen
193
8.1.3 Stetigkeit
195
8.2 Die Ableitung
195
8.2.1 Der Differenzialquotient
195
8.2.2 Wichtige Ableitungsregeln
196
8.2.3 Die Ableitung ganzrationaler Funktionen
198
8.2.4 Die Ableitungsfunktion
198
8.3 Die Bedeutung der 1. bis 3. Ableitung
199
8.3.1 Maxima
199
8.3.2 Minima
200
8.3.3 Krümmung
200
8.3.4 Wendepunkte
201
8.3.5 Beispiel
201
8.4 Weitere Ableitungsregeln
202
8.4.1 Produktregel
202
8.4.2 Quotientenregel
202
8.4.3 Kettenregel
203
8.4.4 Die Ableitung der trigonometrischen Funktionen
204
8.4.5 Die Ableitung von Logarithmusfunktionen
205
8.4.6 Die Ableitung der Umkehrfunktion
206
8.4.7 Die Ableitung von Exponentialfunktionen
207
8.5 Funktionen mit mehreren Variablen
207
8.6 Anwendungen
207
8.6.1 Kurvendiskussion
207
8.6.2 Extremwertprobleme
208
8.6.3 Einige Extremalprinzipien aus der Physik
209
8.6.4 Ausgleichsrechnung: Beispiel Lineare Regression
211
8.6.5 Maschinenbau: Wechselkräfte in einer Kolbenmaschine
212
8.6.6 Das Newton-Verfahren zur numerischen Auflösung von Gleichungen
215
8.6.7 Vereinfachung des Newton-Verfahrens: Regula falsi
219
8.6.8 Bestimmung aller Lösungen einer algebraischen Gleichung
220
8.6.9 Parameterbestimmung in der Physik: Gas-Zustandsgleichung
221
8.6.10 Fehlerfortpflanzung
223
8.6.11 Unsicherheitsabschätzung
224
8.7 Übungsaufgaben
225
8.7.1 Zu Abschnitt 8.1
225
8.7.2 Zu Abschnitt 8.2
226
8.7.3 Zu Abschnitt 8.3
226
8.7.4 Zu Abschnitt 8.4
226
8.7.5 Zu Abschnitt 8.6.2
228
9 Integralrechnung
232
9.1 Das bestimmte Integral
232
9.1.1 Begriffe und Grundlagen
232
9.1.2 Berechnung bestimmter Integrale
233
9.2 Die Stammfunktion und ihre Ableitung
234
9.3 Das unbestimmte Integral
235
9.4 Integrationsregeln
236
9.4.1 Integrationsregeln aus Ableitungsregeln
236
9.4.2 Logarithmische Ableitung
237
9.4.3 Partielle Integration
237
9.4.4 Integration durch Substitution
238
9.5 Numerische Integration
238
9.5.1 Integration durch Approximation
238
9.5.2 Trapez-Integration
239
9.5.3 Romberg-Integration
239
9.6 Anwendungen
240
9.6.1 Mittelwert einer Funktion in einem Intervall
240
9.6.2 Flächenschwerpunkt
241
9.6.3 Bogenlänge
242
9.6.4 Linienschwerpunkt
243
9.6.5 Flächen- und Trägheitsmomente
244
9.6.6 Arbeit/Energie bei ortsabhängiger Kraft
245
9.6.7 Das RC-Glied
247
9.6.8 Leistung des Wechselstroms
248
9.6.9 Frequenzanalyse (Fourier-Analyse, harmonische Analyse)
250
9.6.10 Seilreibung
254
9.6.11 Abkühlung
255
9.6.12 Barometrische Höhenformel
257
9.6.13 Berechnung des Integrals einer punktweise gegebenen Funktion
258
9.6.14 Bewegungsprobleme in der Physik
258
Literaturverzeichnis
260
Sachwortverzeichnis
262
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