Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

1 Funktionen einer reellen Variablen in ökonomischen Problemen

1.1 Mathematische Grundbegriffe

1.1.1 Funktionsbegriff

1.1.2 Ein Funktionenreservoir

1.1.3 Eigenschaften von Funktionen

1.1.4 Umkehrfunktion

1.2 Funktionen für ökonomische Zusammenhänge

1.3 Funktionen und ökonomisches Wachstum

Aufgaben 1.1 bis 1.18

2 Differenzialrechnung für Funktionen einer reellen Variablen in ökonomischen Problemen

2.1 Einführung

2.2 Mathematische Grundlagen

2.2.1 Grenzwert

Aufgaben 2.1 bis 2.6

2.2.2 Stetigkeit

2.2.3 Ableitung

Aufgaben 2.7 bis 2.15

2.2.4 Differenzial

Aufgabe 2.16

2.2.5 Untersuchung von Funktionen mithilfe ihrer Ableitungen

Aufgaben 2.17 und 2.18

2.2.6 Nichtlineare Gleichungen in ökonomischen Problemen und deren Lösung

Aufgaben 2.19 und 2.20

2.3 Ökonomische Probleme und Ableitungen von Funktionen

Aufgaben 2.21 bis 2.29

2.4 Reagibilität und Ableitungen

Aufgaben 2.30 bis 2.41

2.5 Extremwertaufgaben der Ökonomie

2.5.1 Extrema für Kostenfunktionen

Aufgaben 2.42 bis 2.48

2.5.2 Gewinnmaximum

Aufgaben 2.49 bis 2.57

2.6 Die Regel von de l'Hospital

Aufgabe 2.58

2.7 Reihen und Potenzreihen

2.7.1 Reihen

2.7.2 Potenzreihen

2.8 Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe

2.8.1 MacLaurinsche Reihen

2.8.2 Allgemeine Taylor-Reihen

Aufgaben 2.59 bis 2.61

2.9 Komplexe Zahlen

2.9.1 Definition und Darstellung komplexer Zahlen

2.9.2 Das Rechnen mit komplexen Zahlen

3 Funktionen mit mehreren Veränderlichen

3.1 Definition und Darstellungsform von Funktionen mit mehreren Veränderlichen

3.2 Partielle Differenziation

Aufgaben 3.1 bis 3.3

3.3 Partielle Ableitungen höherer Ordnung

Aufgabe 3.4

3.4 Tangentialebene und das totale Differenzial

3.4.1 Geometrische Betrachtungen

Aufgabe 3.5

3.4.2 Das totale Differenzial

3.5 Spezielle Ableitungstechniken

3.5.1 Differenziation nach einem Parameter

3.5.2 Implizite Differenziation

3.6 Anwendungen

3.6.1 Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme

3.6.2 Lokale Extrema und Sattelpunkte

3.6.3 Fehlerrechnung

3.6.4 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

Aufgaben 3.6 bis 3.8

4 Integralrechnung

4.1 Integration als Umkehrung der Differenziation – das unbestimmte Integral

Aufgaben 4.1 bis 4.3

Aufgabe 4.4

4.2 Das bestimmte Integral – Hauptsatz der Integralrechnung

Aufgaben 4.5 und 4.6

4.3 Uneigentliche Integrale

4.4 Geometrische Anwendungen

4.4.1 Flächenberechnung

4.4.2 Länge einer Kurve

4.4.3 Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern

4.5 Anwendung der Integralrechnung in ökonomischen Zusammenhängen

4.6 Numerische Integration

Aufgabe 4.7

4.7 Doppelintegrale

4.7.1 Doppelintegrale in kartesischen Koordinaten

4.7.2 Doppelintegrale in Polarkoordinaten

Aufgabe 4.8

5 Lineare Algebra in Betriebs- und Volkswirtschaft

5.1 Einführende Beispiele ökonomischen Inhalts

Aufgaben 5.1 und 5.2

5.2 Mathematische Grundlagen der Matrizen- und Vektorrechnung

5.2.1 Matrizen und Vektoren sowie ihre Spezifizierungen

Aufgaben 5.3 und 5.4

5.2.2 Rechnen mit Matrizen und Vektoren

Aufgaben 5.5 bis 5.8

5.2.3 Inverse Matrix

Aufgaben 5.9 bis 5.12

5.2.4 Gaussscher Algorithmus

Aufgaben 5.13 und 5.14

5.2.5 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

Aufgaben 5.15 bis 5.17

5.3 Matrizen und Vektoren in Betriebs- und Volkswirtschaft

Aufgaben 5.18 bis 5.22

5.4 Mathematische Grundlagen linearer algebraischer Gleichungssysteme

5.4.1 Einführung

5.4.2 Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme: Begriff und Methode

Aufgaben 5.23 bis 5.25

5.4.3 Gaussscher Algorithmus zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme

Aufgaben 5.26 bis 5.30

5.4.4 Basislösungen

Aufgaben 5.31 bis 5.36

5.4.5 Zusammenfassende Aussagen über lineare algebraische Gleichungssysteme

Aufgaben 5.37 bis 5.40

5.5 Lineare algebraische Gleichungssysteme in Betriebs- und Volkswirtschaft

Aufgaben 5.41 und 5.42

5.6 Determinante einer Matrix

Aufgaben 5.43 und 5.44

5.7 Das Eigenwertproblem für quadratische Matrizen

Aufgabe 5.45

6 Lineare Optimierung in Volkswirtschaft und Betriebswirtschaft

6.1 Problemstellungen und Grundbegriffe

6.1.1 Aufgabenstellung und Beispiele

6.1.2 Das Rechnen mit Ungleichungen

6.1.3 Die grafische Lösung

6.1.4 Allgemeine mathematische Formulierung des linearen Optimierungsproblems

6.2 Der Simplex-Algorithmus

6.2.1 Die Grundideen des Simplex-Verfahrens

6.2.2 Der Austauschschritt im Simplex-Tableau

6.2.3 Die Simplex-Regeln

6.2.4 Der Simplex-Algorithmus (Phase II)

6.2.5 Theoretische Ergänzungen und Sonderfälle

6.3 Der Simplex-Algorithmus für allgemeine lineare Programme

6.3.1 Minimumprobleme, Gleichungsrestriktionen, Varianten der Vorzeichenbeschränkungen, obere und untere Schranken

6.3.2 Simplex-Algorithmus: Phase I und Phase II

6.4 Dualität

6.4.1 Primal-Dual Beziehung und Dualitätssätze

6.4.2 Primal-Dual Beziehung und Komplementarität

6.4.3 Dualer Simplex-Algorithmus (Phase III)

6.4.4 Ökonomische Interpretationen der Größen in den Simplex-Tableaus

6.5 Weiterführende Aspekte

6.5.1 Modellbildung

6.5.2 Spezialfälle linearer Optimierung

6.5.3 Sensitivitätsanalyse bei der linearen Optimierung

6.5.4 Parametrische (lineare) Optimierung

6.5.5 Effizienz und Vergleich von LP-Solvern

6.5.6 Ganzzahlige lineare Optimierung

6.5.7 Nichtlineare Optimierung

Aufgaben 6.1 bis 6.11

7 Finanzmathematik

7.1 Zinsrechnung

7.1.1 Einfache Zinsen und Zinseszinsen

7.1.2 Vorschüssige Verzinsung

7.1.3 Gemischte Verzinsung

7.1.4 Unterjährige Verzinsung

7.1.5 Stetige Verzinsung

Aufgaben 7.1 bis 7.11

7.2 Barwert, Äquivalenz und Rendite

7.2.1 Barwert und Äquivalenz

7.2.2 Kapitalwertmethode

7.2.3 Rendite

7.2.4 Mittlerer Zahlungstermin und Duration

Aufgaben 7.12 bis 7.20

7.3 Rentenrechnung

7.3.1 Nachschüssige und vorschüssige Renten

7.3.2 Aufgeschobene, abgebrochene und ewige Rente

7.3.3 Jährliche Verzinsung – unterjährige Rentenzahlung

7.3.4 Unterjährige Verzinsung

Aufgaben 7.21 bis 7.31

7.4 Kreditrechnung

7.4.1 Grundbegriffe

7.4.2 Ratentilgung

7.4.3 Annuitätentilgung

7.4.4 Unterjährige Verzinsung, Tilgung und Rückzahlung

7.4.5 Ratenkredit

Aufgaben 7.32 bis 7.41

7.5 Kurs- und Renditerechnung

7.5.1 Grundlagen

7.5.2 Zinsschuld

7.5.3 Annuitätenschuld

Aufgaben 7.42 bis 7.48

7.6 Abschreibung

7.6.1 Grundlagen

7.6.2 Lineare Abschreibung

7.6.3 Geometrisch-degressive Abschreibung

7.6.4 Weitere Abschreibungsarten

7.6.5 Vergleich linearer und geometrisch-degressiver Abschreibung

Aufgaben 7.49 bis 7.55

7.7 Weitergehende Betrachtungen

7.7.1 Rendite und Risiko

7.7.2 „Neuere“ Finanzprodukte

Aufgaben 7.56 bis 7.58

8 Weitere praktische Probleme und deren Lösung

8.1 Nichtlineare Optimierung

8.1.1 Problemstellung, Grundlagen und grafische Lösungen

8.1.2 Karush-Kuhn-Tucker-Theorie (KKT-Theorie)

8.1.3 Nichtlineare Optimierungsprobleme ohne Nebenbedingungen

8.1.4 Bausteine der allgemeinen NLP-Techniken (Übersicht)

Aufgaben 8.1 bis 8.5

8.2 Problemlösungen mit einem Standard-Software-System

8.2.1 (Allgemeine) LP-Probleme

8.2.2 Ausgewählte NLP-Probleme

8.2.3 Portfolio-Probleme

8.2.4 Transportprobleme

8.2.5 Zuordnungsprobleme

8.2.6 Netzwerkprobleme

8.2.7 Netzplantechniken

8.2.8 Kundenwanderung

8.2.9 Verwaltung von Modellen: Algebraische Eingabe und Solver

Lösungen

Literaturverzeichnis

Sachwortverzeichnis