Hans-Jochen Bartsch, Michael Sachs
Kleine Formelsammlung Mathematik
1 Logik, Arithmetik, Algebra
15
1.1 Mathematische Logik
15
1.1.1 Ein- und zweistellige Boolesche Funktionen
15
1.1.2 Rechengesetze (Boolesche Algebra)
17
1.2 Mengen
17
1.2.1 Grundlagen
17
1.2.2 Mengenoperationen
18
1.2.3 Rechenregeln für Mengen
19
1.2.4 Relationen
20
1.2.5 Zahlensysteme
20
1.3 Menge der reellen Zahlen
21
1.3.1 Standard-Zahlenmengen
21
1.3.2 Grundoperationen für reelle Zahlen
23
1.3.3 Potenzen, Wurzeln
26
1.3.4 Logarithmen
27
1.3.5 Binomischer Satz
28
1.4 Menge der komplexen Zahlen
30
1.4.1 Grundlagen
30
1.4.2 Darstellungsformen komplexer Zahlen
31
1.4.3 Grundrechenarten mit komplexen Zahlen
32
1.4.4 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
33
1.5 Kombinatorik
33
1.6 Folgen
35
1.6.1 Grundlagen
35
1.6.2 Schranken, Grenzwert und Monotonie einer Folge
35
1.6.3 Arithmetische und geometrische Folgen
36
1.6.4 Zins-, Zinseszins-, Renten- und Tilgungsrechnung
38
1.7 Gleichungen und Ungleichungen, Algebra
40
1.7.1 Grundlagen
40
1.7.2 Lineare Gleichungen
41
1.7.3 Nichtlineare Gleichungen, Polynome
42
1.7.4 Wurzelgleichungen, transzendente Gleichungen
45
1.7.5 Numerische Verfahren für Gleichungen
45
2 Lineare Algebra
48
2.1 Vektoren
48
2.1.1 Grundbegriffe
48
2.1.2 Skalarprodukt im R^n
52
2.1.3 Vektoren im R^3
54
2.2 Matrizen
57
2.2.1 Grundlagen
57
2.2.2 Matrizengesetze
58
2.2.3 n-reihige quadratische Matrizen
59
2.2.4 Rang, Normen
62
2.2.5 Determinanten
63
2.2.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
65
2.3 Lineare Gleichungssysteme
67
2.3.1 Bezeichnungen
67
2.3.2 Lösbarkeitsbedingungen
68
2.3.3 Lösungsverfahren
69
2.4 Lineare Abbildungen
71
2.4.1 Grundlagen
71
2.4.2 Spezielle lineare Abbildungen in der Ebene
72
2.5 Koordinatensysteme
73
2.5.1 Kartesische Koordinaten
73
2.5.2 Zylinderkoordinaten
74
2.5.3 Kugelkoordinaten
74
2.6 Koordinatentransformationen
75
2.6.1 Koordinatentransformationen in der Ebene
76
2.6.2 Koordinatentransformationen im Raum
77
3 Elementare und analytische Geometrie
79
3.1 Planimetrie, ebene Trigonometrie
79
3.1.1 Winkel
79
3.1.2 Teilungen, Ähnlichkeit, Kongruenz
81
3.1.3 Dreiecke
82
3.1.4 Vierecke
84
3.1.5 Vielecke
86
3.1.6 Kreis
87
3.2 Geometrische Körper (Stereometrie)
89
3.2.1 Ebenflächig begrenzte Körper (Polyeder, Vielflache)
90
3.2.2 Krummflächig begrenzte Körper
91
3.3 Punkt, Gerade, Ebene
94
3.3.1 Punkt, Strecke
94
3.3.2 Gerade in der Ebene
95
3.3.3 Gerade im Raum
97
3.3.4 Mehrere Geraden
99
3.3.5 Ebene
101
3.3.6 Flächeninhalt, Volumen
104
3.4 Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte)
104
3.4.1 Gemeinsame Charakterisierungen aller Kegelschnitte
104
3.4.2 Kreis
106
3.4.3 Ellipse
107
3.4.4 Parabel
111
3.4.5 Hyperbel
113
3.5 Flächen 2. Ordnung
116
3.6 Hauptachsentransformation
121
4 Funktionen
123
4.1 Grundlagen
123
4.2 Grenzwerte, unbestimmte Ausdrücke
126
4.2.1 Grenzwerte einer Funktion
126
4.2.2 Unbestimmte Ausdrücke
127
4.3 Eigenschaften reeller Funktionen
128
4.4 Rationale Funktionen
129
4.4.1 Ganzrationale Funktionen (Polynome)
129
4.4.2 Interpolation
131
4.4.3 Gebrochenrationale Funktionen
132
4.5 Nichtrationale Funktionen
133
4.5.1 Elementare Funktionen
133
4.5.2 Wurzelfunktionen
134
4.5.3 Exponentialfunktionen
134
4.5.4 Logarithmusfunktionen
135
4.5.5 Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen
136
4.5.6 Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen)
142
4.5.7 Hyperbelfunktionen
143
4.5.8 Areafunktionen
146
4.6 Ausgewählte ebene Kurven
148
4.7 Kurvendiskussion
150
5 Analysis
151
5.1 Differenzialrechnung
151
5.1.1 Funktionen mit einer unabhängigen Variablen
151
5.1.2 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen
156
5.1.3 Extrema und Wendepunkte
158
5.1.4 Differenzialgeometrie ebener Kurven
161
5.1.5 Differenzialgeometrie von Raumkurven und Raumflächen
165
5.2 Integralrechnung
169
5.2.1 Unbestimmtes und bestimmtes Integral
169
5.2.2 Grundintegrale und Integrationsregeln
172
5.2.3 Integrationstechniken
174
5.2.4 Numerische Integration
177
5.2.5 Gebietsintegrale, Mehrfachintegrale
179
5.2.6 Anwendungen der Integralrechnung
182
5.3 Vektoranalysis
189
5.3.1 Vektorwertige Funktionen, Felder
189
5.3.2 Gradient eines skalaren Feldes
192
5.3.3 Divergenz eines Vektorfeldes
192
5.3.4 Laplace-Operator eines skalaren Feldes
193
5.3.5 Rotation eines Vektorfeldes
194
5.3.6 Kurvenintegrale
195
5.3.7 Oberflächenintegrale
198
5.3.8 Integralsätze von Green, Gauss und Stokes
201
6 Gewöhnliche Differenzialgleichungen
203
6.1 Grundlagen
203
6.2 Ausgewählte Differenzialgleichungen 1. Ordnung
205
6.3 Ausgewählte Differenzialgleichungen 2. Ordnung
209
6.3.1 Homogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung
209
6.3.2 Inhomogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung
212
6.4 Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung
214
6.5 Numerische Verfahren für Differenzialgleichungen 1. Ordnung
216
6.5.1 Polygonzugverfahren von Euler-Cauchy
216
6.5.2 Verfahren 4. Ordnung von Runge-Kutta
217
6.6 Lineare Differenzialgleichungssysteme
218
7 Reihen, Integral-Transformationen
220
7.1 Unendliche Reihen
220
7.1.1 Zahlenreihen
220
7.1.2 Konvergenzkriterien für Reihen
222
7.1.3 Potenzreihen
224
7.1.4 Taylor-Formel und Taylor-Reihen
225
7.1.5 Zusammenstellung fertig entwickelter Taylor-Reihen
227
7.1.6 Fourier-Reihen
230
7.2 Fourier-Transformation
233
7.3 Laplace-Transformation
236
7.3.1 Rechenregeln der Laplace-Transformation
237
7.3.2 Lösung von gewöhnlichen linearen Differenzialgleichungen
239
7.3.3 Korrespondenztabelle der Laplace-Transformation
240
8 Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung
243
8.1 Beschreibende (deskriptive) Statistik
243
8.1.1 Grundbegriffe, Darstellungsarten
243
8.1.2 Lagemaße (Mittelwerte)
245
8.1.3 Streuungsmaße
247
8.1.4 Korrelationsmaße
248
8.1.5 Regressionsrechnung
249
8.1.6 Fehlerrechnung
251
8.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung
252
8.2.1 Grundbegriffe
252
8.2.2 Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung
254
8.2.3 Zufällige Variable
256
8.2.4 Diskrete zufällige Variable
260
8.2.5 Stetige zufällige Variable
262
8.3 Schließende (induktive) Statistik
266
8.3.1 Schätzfunktionen
266
8.3.2 Intervallschätzung
267
8.3.3 Signifikanztests
268
8.4 Tabellen
271
8.4.1 Verteilungsfunktion F (x) der Standard-Normalverteilung
271
8.4.2 Quantile der t-Verteilung (Student-Verteilung)
272
8.4.3 Quantile der .^2-Verteilung
273
9 Integraltabelle
274
Sachwortverzeichnis
279
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