Mathematik für das Ingenieurstudium

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen

1.1 Logik und Mengen

1.1.1 Aussagenlogik

1.1.2 Mengen

1.2 Zahlen

1.2.1 Natürliche Zahlen

1.2.2 Ganze Zahlen

1.2.3 Rationale Zahlen

1.2.4 Reelle Zahlen

1.2.5 Ordnung

1.2.6 Intervalle

1.2.7 Betrag und Signum

1.2.8 Summe und Produkt

1.3 Potenz und Wurzel

1.3.1 Potenzen

1.3.2 Potenzgesetze

1.3.3 Wurzeln

1.3.4 Binomischer Satz

1.4 Trigonometrie

1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

1.4.2 Winkel im Grad- und Bogenmaß

1.4.3 Sinus- und Kosinussatz

1.5 Gleichungen und Ungleichungen

1.5.1 Lineare Gleichungen

1.5.2 Potenzgleichungen

1.5.3 Quadratische Gleichungen

1.5.4 Wurzelgleichungen

1.5.5 Ungleichungen

1.6 Beweise

1.6.1 Direkter Beweis

1.6.2 Indirekter Beweis

1.6.3 Konstruktiver Beweis

1.6.4 Vollständige Induktion

1.7 Aufgaben

2 Lineare Gleichungssysteme

2.1 Einführung

2.2 Gauß-Algorithmus

2.2.1 Äquivalenzumformungen

2.2.2 Vorwärtselimination

2.2.3 Rückwärtseinsetzen

2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren

2.2.5 Rechenschema

2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme

2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung

2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen

2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen

2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme

2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme

2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme

2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern

2.4 Numerische Verfahren

2.4.1 Jacobi-Iteration

2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration

2.5 Anwendungen

2.5.1 Produktion

2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik

2.6 Aufgaben

3 Vektoren

3.1 Der Begriff eines Vektors

3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten

3.2.1 Addition und Subtraktion

3.2.2 Skalare Multiplikation

3.2.3 Skalarprodukt

3.2.4 Vektorprodukt

3.2.5 Spatprodukt

3.2.6 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung

3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung

3.3.1 Koordinatendarstellung

3.3.2 Addition und Subtraktion

3.3.3 Skalare Multiplikation

3.3.4 Skalarprodukt

3.3.5 Vektorprodukt

3.3.6 Spatprodukt

3.3.7 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung

3.4 Punkte, Geraden und Ebenen

3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem

3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen

3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen

3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen

3.4.5 Abstände

3.4.6 Winkel

3.5 Anwendungen

3.5.1 Kraft

3.5.2 Arbeit

3.5.3 Drehmoment

3.6 Aufgaben

4 Matrizen

4.1 Der Begriff einer Matrix

4.2 Rechnen mit Matrizen

4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation

4.2.2 Multiplikation von Matrizen

4.3 Determinanten

4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix

4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix

4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix

4.4 Inverse Matrix

4.4.1 Invertierbare Matrizen

4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix

4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem

4.5 Lineare Abbildungen

4.5.1 Matrizen als Abbildungen

4.5.2 Kern, Bild und Rang

4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren

4.7 Numerische Verfahren

4.8 Anwendungen

4.9 Aufgaben

5 Funktionen

5.1 Relationen und Funktionen

5.1.1 Relationen

5.1.2 Funktionen

5.2 Reelle Funktionen

5.2.1 Definitionsmenge, Zielmenge und Wertemenge

5.2.2 Wertetabelle und Schaubild

5.2.3 Explizite und implizite Darstellung

5.2.4 Abschnittsweise definierte Funktionen

5.2.5 Funktionsschar

5.2.6 Verkettung von Funktionen

5.3 Eigenschaften

5.3.1 Symmetrie

5.3.2 Periode

5.3.3 Monotonie

5.3.4 Beschränktheit

5.4 Das Prinzip der Umkehrfunktion

5.5 Anwendungen

5.5.1 Messwerte

5.5.2 Kennfelder

5.6 Aufgaben

6 Elementare Funktionen

6.1 Potenz- und Wurzelfunktionen

6.1.1 Potenzfunktionen

6.1.2 Wurzelfunktionen

6.2 Polynome und gebrochenrationale Funktionen

6.2.1 Polynome

6.2.2 Gebrochenrationale Funktionen

6.3 Sinus, Kosinus, Tangens und Arkusfunktionen

6.3.1 Definition am Einheitskreis

6.3.2 Eigenschaften

6.3.3 Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion

6.3.4 Arkusfunktionen

6.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen

6.4.1 Exponentialfunktionen

6.4.2 Die e-Funktion

6.4.3 Logarithmusfunktionen

6.5 Hyperbel- und Areafunktionen

6.5.1 Hyperbelfunktionen

6.5.2 Areafunktionen

6.6 Anwendungen

6.6.1 Freileitungen

6.6.2 Industrieroboter

6.7 Aufgaben

7 Folgen, Grenzwert und Stetigkeit

7.1 Folgen

7.1.1 Zahlenfolgen

7.1.2 Grenzwert einer Folge

7.2 Funktionsgrenzwerte

7.3 Stetigkeit

7.4 Asymptotisches Verhalten

7.5 Numerische Verfahren

7.5.1 Berechnung von Funktionswerten

7.5.2 Bisektionsverfahren

7.6 Anwendungen

7.7 Aufgaben

8 Differenzialrechnung

8.1 Steigung und Ableitungsfunktion

8.1.1 Tangente und Differenzierbarkeit

8.1.2 Differenzial

8.1.3 Ableitungsfunktion

8.1.4 Mittelwertsatz der Differenzialrechnung

8.1.5 Höhere Ableitungen

8.2 Ableitungstechnik

8.2.1 Ableitungsregeln

8.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion

8.2.3 Logarithmisches Differenzieren

8.2.4 Implizites Differenzieren

8.2.5 Zusammenfassung

8.3 Regel von Bernoulli-de l'Hospital

8.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen

8.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel

8.4.2 Monotonie

8.4.3 Krümmung

8.4.4 Lokale Extrema

8.4.5 Wendepunkte

8.4.6 Globale Extrema

8.5 Numerische Verfahren

8.5.1 Numerische Differenziation

8.5.2 Newton-Verfahren

8.5.3 Sekantenverfahren

8.6 Anwendungen

8.6.1 Fehlerrechnung

8.6.2 Extremwertaufgaben

8.6.3 Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit

8.7 Aufgaben

9 Integralrechnung

9.1 Flächenproblem

9.1.1 Integralsymbol

9.1.2 Integral als Grenzwert von Summen

9.1.3 Bestimmtes Integral

9.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral

9.2.1 Integralfunktion

9.2.2 Stammfunktion

9.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion

9.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung

9.3 Integrationstechnik

9.3.1 Integrationsregeln

9.3.2 Integration durch Substitution

9.3.3 Partielle Integration

9.3.4 Gebrochenrationale Funktionen

9.3.5 Uneigentliche Integrale

9.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen

9.4.1 Flächeninhalte

9.4.2 Bogenlänge

9.4.3 Rotationskörper

9.5 Numerische Verfahren

9.5.1 Trapezregel

9.5.2 Romberg-Verfahren

9.6 Anwendungen

9.6.1 Effektivwert

9.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen

9.7 Aufgaben

10 Potenzreihen

10.1 Unendliche Reihen

10.2 Potenzreihen und Konvergenz

10.3 Taylor-Reihen

10.4 Eigenschaften

10.5 Numerische Verfahren

10.6 Anwendungen

10.7 Aufgaben

11 Kurven

11.1 Parameterdarstellung

11.2 Kegelschnitte

11.3 Tangente

11.4 Krümmung

11.5 Bogenlänge

11.6 Numerische Verfahren

11.7 Anwendungen

11.7.1 Mechanik

11.7.2 Straßenbau

11.8 Aufgaben

12 Funktionen mit mehreren Variablen

12.1 Definition und Darstellung

12.1.1 Definition einer Funktion mit mehreren Variablen

12.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen

12.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien

12.2 Grenzwert und Stetigkeit

12.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen

12.2.2 Stetigkeit

12.3 Differenziation

12.3.1 Partielle Ableitungen und partielle Differenzierbarkeit

12.3.2 Differenzierbarkeit und Tangentialebene

12.3.3 Gradient und Richtungsableitung

12.3.4 Differenzial

12.3.5 Höhere partielle Ableitungen

12.3.6 Extremwerte

12.4 Ausgleichsrechnung

12.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate

12.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen

12.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung

12.5 Vektorwertige Funktionen

12.6 Numerische Verfahren

12.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren

12.6.2 Gradientenverfahren

12.7 Anwendungen

12.8 Aufgaben

13 Komplexe Zahlen und Funktionen

13.1 Definition und Darstellung

13.1.1 Komplexe Zahlen

13.1.2 Gaußsche Zahlenebene

13.1.3 Polarkoordinaten

13.1.4 Exponentialform

13.2 Rechenregeln

13.2.1 Gleichheit

13.2.2 Addition und Subtraktion

13.2.3 Multiplikation und Division

13.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl

13.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl

13.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome

13.3.1 Potenzen

13.3.2 Wurzeln

13.3.3 Fundamentalsatz der Algebra

13.4 Komplexe Funktionen

13.4.1 Ortskurven

13.4.2 Harmonische Schwingungen

13.4.3 Transformationen

13.5 Anwendungen

13.6 Aufgaben

14 Gewöhnliche Differenzialgleichungen

14.1 Einführung

14.1.1 Grundbegriffe

14.1.2 Anfangswert- und Randwertproblem

14.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie

14.1.4 Differenzialgleichung und Funktionenschar

14.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung

14.2.1 Separation der Variablen

14.2.2 Lineare Substitution

14.2.3 Ähnlichkeitsdifferenzialgleichungen

14.3 Lineare Differenzialgleichungen

14.3.1 Homogene und inhomogene lineare Differenzialgleichungen

14.3.2 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung

14.3.3 Allgemeine Eigenschaften

14.3.4 Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

14.4 Schwingungsdifferenzialgleichungen

14.4.1 Allgemeine Form

14.4.2 Freie Schwingung

14.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung

14.4.4 Frequenzgänge

14.5 Differenzialgleichungssysteme

14.5.1 Eliminationsverfahren

14.5.2 Zustandsvariablen

14.5.3 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten

14.5.4 Lineare Differenzialgleichung als System

14.5.5 Stabilität

14.6 Numerische Verfahren

14.6.1 Polygonzugverfahren von Euler

14.6.2 Euler-Verfahren für Differenzialgleichungssysteme

14.7 Anwendungen

14.7.1 Temperaturverlauf

14.7.2 Radioaktiver Zerfall

14.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand

14.7.4 Feder-Masse-Schwinger

14.7.5 Pendel

14.7.6 Wechselstromkreise

14.8 Aufgaben

15 Differenzengleichungen

15.1 Lineare Differenzengleichungen

15.1.1 Differenzengleichungen erster Ordnung

15.1.2 Differenzengleichungen höherer Ordnung

15.2 Systeme linearer Differenzengleichungen

15.2.1 Homogene Systeme erster Ordnung

15.2.2 Inhomogene Systeme erster Ordnung

15.2.3 Asymptotisches Verhalten

15.3 Anwendungen

15.4 Aufgaben

16 Fourier-Reihen

16.1 Fourier-Analyse

16.1.1 Periodische Funktionen

16.1.2 Trigonometrische Polynome

16.1.3 Fourier-Reihe

16.1.4 Satz von Fourier

16.1.5 Gibbssches Phänomen

16.2 Komplexe Darstellung

16.2.1 Komplexe Fourier-Reihe

16.2.2 Berechnung komplexer Fourier-Koeffizienten

16.2.3 Spektrum

16.2.4 Minimaleigenschaft

16.3 Eigenschaften

16.3.1 Symmetrie

16.3.2 Integrationsintervall

16.3.3 Mittelwert

16.3.4 Linearität

16.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr

16.3.6 Zeitverschiebung

16.4 Aufgaben

17 Verallgemeinerte Funktionen

17.1 Heaviside-Funktion

17.2 Dirac-Distribution

17.3 Verallgemeinerte Ableitung

17.4 Faltung

17.5 Anwendungen

17.6 Aufgaben

18 Fourier-Transformation

18.1 Integraltransformation

18.1.1 Definition

18.1.2 Darstellung mit Real- und Imaginärteil

18.1.3 Sinus- und Kosinustransformation

18.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen

18.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase

18.2 Eigenschaften

18.2.1 Linearität

18.2.2 Zeitverschiebung

18.2.3 Amplitudenmodulation

18.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr

18.3 Inverse Fourier-Transformation

18.3.1 Definition

18.3.2 Vertauschungssatz

18.3.3 Linearität

18.4 Differenziation, Integration und Faltung

18.4.1 Differenziation im Zeitbereich

18.4.2 Differenziation im Frequenzbereich

18.4.3 Multiplikationssatz

18.4.4 Integration

18.4.5 Faltung

18.5 Periodische Funktionen

18.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe

18.5.2 Koeffizienten der Fourier-Reihe

18.5.3 Grenzwertbetrachtung

18.6 Anwendungen

18.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme

18.6.2 Tiefpassfilter

18.7 Aufgaben

19 Laplace-Transformation

19.1 Bildbereich

19.1.1 Definition

19.1.2 Laplace- und Fourier-Transformation

19.2 Eigenschaften

19.2.1 Linearität

19.2.2 Ähnlichkeit

19.2.3 Zeitverschiebung

19.2.4 Dämpfung

19.3 Differenziation, Integration und Faltung

19.3.1 Differenziation

19.3.2 Integration

19.3.3 Faltung

19.3.4 Grenzwerte

19.4 Transformation periodischer Funktionen

19.5 Rücktransformation

19.6 Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen

19.7 Anwendungen

19.8 Aufgaben

20 z-Transformation

20.1 Transformation diskreter Signale

20.1.1 Definition

20.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation

20.2 Eigenschaften

20.2.1 Linearität

20.2.2 Dämpfung

20.2.3 Verschiebung

20.2.4 Vorwärtsdifferenzen

20.2.5 Multiplikationssatz

20.2.6 Diskrete Faltung

20.3 Lösung von Differenzengleichungen

20.4 Anwendungen

20.5 Aufgaben

21 Elementare Zahlentheorie

21.1 Teilbarkeit

21.2 Kongruente Zahlen

21.3 Primzahlen

21.4 Aufgaben

A Anhang

A.1 Bedeutende Mathematiker

A.2 Trigonometrische Funktionen

A.3 Ableitungen

A.4 Ableitungsregeln

A.5 Integrale

A.6 Integralregeln

A.7 Potenzreihen

A.8 Fourier-Reihen

A.9 Korrespondenzen der Fourier-Transformation

A.10 Eigenschaften der Fourier-Transformation

A.11 Korrespondenzen der Laplace-Transformation

A.12 Eigenschaften der Laplace-Transformation

A.13 Korrespondenzen der z-Transformationen

A.14 Eigenschaften der z-Transformationen

A.15 Griechisches Alphabet

Literaturverzeichnis

Sachwortverzeichnis