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Hans-Jürgen Dobner, Bernd Engelmann
Analysis 1
Grundlagen und Differenzialrechnung
Vorwort
6
Inhaltsverzeichnis
8
1 Reelle und komplexe Zahlen
10
1.1 Natürliche, ganze und reelle Zahlen
10
1.2 Ungleichungen und Abschätzungen
13
1.3 Komplexe Zahlen
19
2 Mathematische Beweismethoden
32
2.1 Elementare Logik
32
2.2 Direkter Beweis
36
2.3 Indirekter Beweis
39
2.4 Induktiver Beweis
44
3 Zahlenfolgen und Konvergenz
53
3.1 Zahlenfolgen und ihre Grenzwerte
53
3.2 Rechnen mit konvergenten Folgen
57
3.3 Die Eulersche Zahl e als Grenzwert
60
3.4 Konvergenzkriterien für Zahlenfolgen
62
4 Zahlenreihen
69
4.1 Zahlenreihen und geometrische Reihen
69
4.2 Konvergenzkriterien für Reihen
73
4.3 Rechnen mit konvergenten Reihen
79
4.4 Beispiele zur Anwendung der Kriterien
80
5 Funktionen
88
5.1 Der Funktionsbegriff
88
5.2 Eigenschaften von Funktionen
90
5.3 Funktion und Umkehrfunktion
94
5.4 Grenzwerte von Funktionen
97
5.5 Stetigkeit von Funktionen
102
6 Die elementaren Funktionen
111
6.1 Polynome und Horner-Schema
111
6.2 Gebrochenrationale Funktionen
121
6.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen
124
6.4 Potenz- und Wurzelfunktionen
125
6.5 Winkel- und Arkusfunktionen
126
6.6 Hyperbel- und Areafunktionen
133
7 Die Ableitung
137
7.1 Das Tangentenproblem
137
7.2 Differenziationsregeln
141
7.3 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen
147
7.4 Das Differenzial
150
8 Anwendungen der Differenzialrechnung
153
8.1 Die Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Ableitung
153
8.2 Taylorsche Formel und Taylorsche Reihe
156
8.3 Die Regeln von l’Hospital
164
8.4 Die Bestimmung von Nullstellen und Extremwerten
168
Lösungen
173
Literaturverzeichnis
181
Sachwortverzeichnis
182
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